Примеры непрерывной симметрии

Круговая симметрия

Трансляционная симметрия

Непрерывная симметрия ( англ. continuous symmetry ) — интуитивное понятие, означающее симметрию , то есть неизменность, относительно непрерывного семейства преобразований. Этим это понятие отличается от , например, симметрии отражения , инвариантной относительно одного, нескольких или дискретного семейства преобразований.

Примеры

Примером непрерывной симметрии является , то есть вращательная симметрия относительно любого угла. Трансляционная симметрия на произвольный вектор в заданном направлении также является непрерывной. В трёхмерном пространстве примером непрерывной симметрии является , которая означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы, сохраняя одну точку на месте.

Формализация

Понятие непрерывной симметрии формализуется с использованием понятий топологической группы , группы Ли и действий группы . Для большинства практических целей непрерывную симметрию можно моделировать с помощью действия группы, сохраняющего некоторую структуру. В частности, пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ является функцией, G является группой, действующей на X , тогда подгруппа ${\displaystyle H\subseteq G}$ является симметрией f , если ${\displaystyle f(h\cdot x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle h\in H}$ .

Подгруппы с одним параметром

Наиболее простые движения образуют группы Ли, например трёхмерного пространства. Например, перенос параллельно оси x на u единиц при варьировании u является однопараметрической группой движений. Вращение вокруг оси z также является однопараметрической группой.

Теорема Нётер

Непрерывная симметрия играет основную роль в теореме Нётер теоретической физики в выводе законов сохранения из принципов симметрии, в особенности непрерывной. С развитием квантовой теории поля поиск непрерывных симметрий приобретает особенную важность.

Ссылки

• William H. Barker, Roger Howe (2007), Continuous Symmetry: from Euclid to Klein