Проекти́вное простра́нство над полем ${\displaystyle K}$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств ) некоторого линейного пространства ${\displaystyle L(K)}$ над данным полем. Прямые пространства ${\displaystyle L(K)}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело ${\displaystyle K.}$ В случае, когда поле ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ , соответствующее проективное пространство называется вещественным или комплексным соответственно.

Если ${\displaystyle L}$ имеет размерность ${\displaystyle n+1}$ , то размерностью проективного пространства называется число ${\displaystyle n}$ , а само проективное пространство обозначается ${\displaystyle KP^{n}}$ и называется ассоциированным с ${\displaystyle L}$ (чтобы это указать, принято обозначение ${\displaystyle P(L)}$ ).

Переход от векторного пространства ${\displaystyle L(K)}$ размерности ${\displaystyle n+1}$ к соответствующему проективному пространству ${\displaystyle KP^{n}}$ называется проективизацией пространства ${\displaystyle L(K)}$ .

Точки ${\displaystyle KP^{n}}$ можно описывать с помощью однородных координат .

Определение как факторпространства

Отождествляя точки ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$ , где ${\displaystyle \lambda }$ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ )

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }}$ .

Точки проективного пространства обозначаются как ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ , где числа ${\displaystyle x_{i}}$ называются однородными координатами . Например, ${\displaystyle [1:2:3]}$ и ${\displaystyle [2:4:6]}$ обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской . В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек ${\displaystyle P}$ , множества прямых ${\displaystyle L}$ и отношения инцидентности ${\displaystyle I}$ , которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
• Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• Если прямые ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ лежат на прямой ${\displaystyle L}$ , а точки ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle r}$ — на прямой ${\displaystyle M}$ , то прямые ${\displaystyle ps}$ и ${\displaystyle qr}$ пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество ${\displaystyle T}$ множества ${\displaystyle P}$ , такое что для любых ${\displaystyle p,q\in P}$ из этого подмножества все точки прямой ${\displaystyle pq}$ принадлежат ${\displaystyle T}$ . Размерностью проективного пространства ${\displaystyle P}$ называется наибольшее число ${\displaystyle n}$ , такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P}$ .

Классификация

• Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
• Размерность 1 ( проективная прямая ): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
• Размерность 2 ( проективная плоскость ): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида ${\displaystyle KP^{n}}$ для некоторого тела ${\displaystyle K}$ удовлетворяют аксиоме Дезарга , однако существуют также недезарговы плоскости .
• Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга, любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

• Пусть ${\displaystyle M}$ есть гиперплоскость в линейном пространстве ${\displaystyle L}$ . Проективное пространство ${\displaystyle P(M)\subset P(L)}$ называется проективной гиперплоскостью в ${\displaystyle P(L)}$ .
• На дополнении проективной гиперплоскости ${\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}$ существует естественная структура аффинного пространства .
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство ${\displaystyle A}$ , можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть ${\displaystyle P(L')}$ и ${\displaystyle P(L'')}$ ― два проективных подпространства. Множество ${\displaystyle P(L'+L'')}$ называется проективной оболочкой множества ${\displaystyle P(L')\cup P(L'')}$ и обозначается ${\displaystyle P(L'+L'')={\overline {P(L')\cup P(L'')}}}$ .

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением ${\displaystyle \gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}}$ называется векторное расслоение , пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}}$ ,

а слоем — вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Каноническая проекция ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ отображает прямую, проходящую через точки ${\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ , в соответствующую точку проективного пространства. При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ это расслоение не является тривиальным . При ${\displaystyle n=1}$ пространством расслоения является лента Мёбиуса .

Примечания

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М. : Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М. : Наука 1986.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М. : Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д. , Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.