Решётка Е ₈ , или решётка Коркина — Золотарёва , — корневая решётка группы Е ₈ . Она реализует в размерности 8:

• Максимально возможное контактное число ;
• Плотнейшую упаковку шаров .

Обычно обозначается ${\displaystyle E_{8}}$ , также как и группa Е ₈ .

История

Существование этой решётки было доказано в 1867 году . Первое явное построение было дано Коркиным и Золотарёвым в 1873 году .

Описание

Решётку Е ₈ можно реализовать как дискретную подгруппу ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ из векторов, обладающих следующим набором свойств:

• все координаты любой точки — либо целые числа , либо полуцелые числа (то есть целое число с половиной);
• сумма всех восьми координат представляет собой чётное целое число .

Иначе говоря,

${\displaystyle E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов из E ₈ содержится в E ₈ , отсюда E ₈ является подгруппой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ .

Решётку Е ₈ можно также реализовать как множество всех точек в E' ₈ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ таких, что

• все координаты — целые числа с чётной суммой или
• все координаты — полуцелые с нечётной суммой.

Иначе говоря

${\displaystyle E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

или

${\displaystyle E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.}$

Решётки E ₈ и E' ₈ изоморфны , одну можно получить из другой, поменяв знак у одной из координат.

Свойства

Характеризация

Решётку E ₈ можно охарактеризовать как единственную решётку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ , удовлетворяющую следующим свойствам:

• Это унимодулярная решётка , то есть
  • из её базиса можно составить матрицу ${\displaystyle 8\times 8}$ с определителем ±1.
  • Иначе говоря, объём фундаментальной области этой решётки равен 1.
  • Эквивалентно, E ₈ является самодвойственной , то есть она совпадает со своей обратной решёткой .
• Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.

Чётные унимодулярные решётки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E ₈ ⊕ E ₈ и D ₁₆ ⁺ (последняя строится аналогично E ₈ в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решётка Лича .

Базис

Один из возможных базисов для E ₈ задаётся столбцами следующей верхнетреугольной матрицы

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].}$

То есть E ₈ состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов. Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8, Z ).

Минимальная норма

Кратчайший ненулевой вектор E ₈ имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневую систему группы Е ₈ . То есть решётка E ₈ является корневой решёткой Е ₈ . Любой выбор из 8 простых корней дает базис E ₈ .

Фундаментальная область

Областями Вороного решётки E ₈ являются .

Группа симметрий

Группы симметрий решётки в R ⁿ определяется как подгруппа ортогональной группы O( n ), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е ₈ порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Её порядок равен

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.}$

Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H ₄ ⊕ H ₄ где H ₄ — матрица Адамара

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

Упаковка шаров

В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. В R ⁸ размещение шаров радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ в точках решётки Е ₈ даёт упаковку максимальной плотности, равной

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно . Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия . Марина Вязовская недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок .

Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решётки Е ₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича .

Контактное число

В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В размерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е ₈ с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году .

Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решётки Е ₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича .

Тэта-функция

Тэта-функция решётки Λ определяется как сумма

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решётки ранга n является модульной формой веса n /2.

С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это ряд Эйзенштейна G ₄ (τ). То есть тэта-функция решётки E ₈ должна быть пропорциональна G ₄ (τ). Это даёт

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

где σ ₃ ( n ) является функцией делителей и ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ .

Отсюда следует, что число векторов нормы 2 n в решётке Е ₈ равно ${\displaystyle 240\cdot }$ (сумма кубов делителей n ). Это последовательность в OEIS :

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

Тета-функция решётки Е ₈ может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

где

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Код Хэмминга

Код Хэмминга H (8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной ( F ₂ ) ⁸ . Написание элементов ( F ₂ ) ⁸ в качестве 8-разрядных целых чисел в шестнадцатеричный код H (8,4) может быть явно записано как

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код H (8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.

По двоичному коду C длины n можно построить решётку Λ, взяв множество всех векторов ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ^{n}}$ таких, что ${\displaystyle x}$ совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II даёт чётную, унимодулярную решётку. В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е ₈ .

Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решёткой E ₈ определённой выше не вполне тривиальна.

Целые октонионы

Решётка Е ₈ используется при определении целых октонионов аналогично целым кватернионам .

Целые октонионы, естественно, образуют решётку в O . Эта решётка подобна решётке Е ₈ с коэффициентом ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ . (Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).

Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.

Приложения

• В 1982 году Фридман построил топологическое четырёхмерное многообразие , называемое Е ₈ -многообразие , чья форма пересечений задаётся решёткой Е ₈ . Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо.
• В теории струн гетеротическая струна — это своеобразный гибрид 26-мерных бозонных струн и 10-мерных суперструн . Для того, чтобы теория работала правильно, 16 лишних размерностей должны быть компактифицированы чётной унимодулярной решёткой ранга 16. Есть две такие решётки: E ₈ ⊕E ₈ и D ₁₆ ⁺ (построен аналогично E ₈ ). Это приводит к двум версиям гетеротических струн, известным как E ₈ ×E ₈ и SO(32).

См. также

• Решётка Лича
• Группа Ли Е ₈
• E8-многообразие

Примечания

Литература

• Конвей Дж. . — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8 .
• John Horton Conway ; (англ.) ( . Sphere Packings, Lattices and Groups (англ.) . — 3rd. — New York: Springer-Verlag , 1998. — ISBN 0-387-98585-9 .
• John Horton Conway ; Smith, Derek A. On Quaternions and Octonions (англ.) . — Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9 . В главе 9 обсуждаются целые октинионы и решётка E ₈ .