Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.

Определение

Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика ${\displaystyle d_{n}}$ на X определяется как

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),}$

иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ говорят, что множество — ${\displaystyle (n,\varepsilon )}$ -отделённое , если попарные ${\displaystyle d_{n}}$ -расстояния между его точками не меньше ${\displaystyle \varepsilon }$ , и мощность наибольшего такого множества обозначается через ${\displaystyle N(n,\varepsilon )}$ . Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел

${\displaystyle h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\varepsilon ).}$

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через ${\displaystyle M(n,\varepsilon )}$ мощность наименьшей ${\displaystyle \varepsilon }$ -сети, то

${\displaystyle h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log M(n,\varepsilon ).}$

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств ${\displaystyle N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).}$ И то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

Литература

• Adler, R.L.; Konheim, Allan G.; McAndrew, M.H. (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society . — 1965. — Vol. 114 . — P. 309—319 .
• Dmitri Anosov (2001), «T/t093040», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Walters, Peter. An introduction to ergodic theory (неопр.) . — Springer-Verlag , 1982. — Т. 79. — ( ). — ISBN 0-387-95152-0 .