Окрошка из кошки ( фр. chat d'Arnold ) — примечательное отображение из двумерного тора в себя.

Представим тор как единичный квадрат со склеенными противоположными сторонами. Тогда отображение окрошки из кошки задаётся как ${\displaystyle \Gamma \colon (x,y)\mapsto \left(\{x+y\},\{x+2y\}\right)}$ , где фигурные скобки обозначают дробную часть. Это отображение обратимо и сохраняет площадь фигур, но не длины отрезков.

Название « окрошка из кошки» связано с его перемешивающими свойствами: какое бы измеримое множество на торе («кошку») мы ни выбрали, под действием всё новых и новых итераций этого автоморфизма оно будет равномерно «размазываться». Говоря формально, для всякого измеримого подмножества лебеговой меры ${\displaystyle m}$ (считая меру всего тора единичной) и всякого открытого подмножества ${\displaystyle U}$ мера пересечения ${\displaystyle \Gamma ^{k}(}$ ${\displaystyle )\cap U}$ будет стремиться к ${\displaystyle m\mu (U)}$ (где ${\displaystyle \mu (U)}$ — лебегова мера ${\displaystyle U}$ ) при стремлении ${\displaystyle k}$ к бесконечности. В монографии В. И. Арнольда и Problèmes ergodiques de la mécanique classique силуэт кошачьей головы использовался для иллюстрации этого отображения , хотя во французском языке игра слов теряется. Из-за этого это отображение в других языках известно как «отображение кота Арнольда» ( фр. chat d'Arnold , англ. Arnold's cat map ), что сам В. И. Арнольд считал некоторым курьёзом. Изображение в оригинальной книге сопровождено иронической сноской, гласящей:

дало дозволение на воспроизведение этого изображения, а равно и иных.

Оригинальный текст (фр.)

La S.P.A. a donné son autorisation pour la reproduction de cette figure, comme bien d'autres.

Вместо автоморфизма тора с тем же успехом можно говорить об автоморфизме его универсального накрытия (то есть евклидовой плоскости) с тем свойством, что ${\displaystyle f(x+n,y+m)=f(x,y)+(n',m')}$ для произвольной точки ${\displaystyle (x,y)}$ и целочисленных точек ${\displaystyle (n,m)}$ и ${\displaystyle (n',m')}$ . Соответствующее преобразование плоскости для окрошки из кошки — это линейное преобразование, задаваемое матрицей ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}}$ (или какой-то другой подобной в зависимости от выбора координат). Определитель этой матрицы равен 1, так что задаваемое ею преобразование обратимо и сохраняет площадь. Кроме того, эта матрица симметрична, так что задаваемое ею преобразование диагонализуемо с собственными числами ${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$ . Поскольку определитель этой матрицы равен 1, её орбиты — гиперболы ${\displaystyle uv=\mathrm {const} }$ , где ${\displaystyle u,v}$ — координаты в базисе из собственных векторов. Каждая из этих гипербол (а также их асимптоты) при проекции на тор переходят во всюду плотные кривые.

Свойства окрошки из кошки

• Отображение ${\displaystyle \Gamma }$ является эргодичным , аносовским и структурно устойчивым .
• Тор может быть разрезан на пять прямоугольников со сторонами, параллельными собственным направлениям окрошки из кошки. Если записать , с какой вероятностью окрошка из кошки переводит точку из ${\displaystyle i}$ -того прямоугольника в ${\displaystyle j}$ -тый, получится марковский процесс . Это может быть использовано при доказательстве перемешивающих свойств этого отображения. Вообще это кодирование сохраняет все свойства окрошки из кошки как динамической системы: так, всякой точке тора ${\displaystyle x}$ соответствует её судьба — бесконечная в обе стороны последовательность цифр от 1 до 5, указывающих, в какой прямоугольник попадают точки ${\displaystyle \dots ,\Gamma ^{-1}x,x,\Gamma x,\Gamma ^{2}x,\dots }$ . Зафиксировать несколько значений будущего точки — всё равно что зафиксировать некий вертикальный пояс, в который она попадает; зафиксировать несколько значений прошлого — всё равно что зафиксировать горизонтальный пояс. Отсюда в частности видно, что для окрошки из кошки будущее не зависит от прошлого .
• Периодические точки окрошки из кошки плотны : точка имеет периодическую орбиту (возможно, с некоторым предпериодом) тогда и только тогда, когда её координаты рациональны. Точка со знаменателем, делящим ${\displaystyle N}$ , не может иметь периода, большего чем ${\displaystyle 3N}$ . В остальном зависимость периода от знаменателя чрезвычайно нерегулярна. Отображение окрошки из кошки на рациональных точках, в особенности с ограниченным знаменателем, часто называется «дискретной окрошкой из кошки».
• Количество точек с периодом ${\displaystyle n}$ равняется в точности ${\displaystyle \left|\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-2\right|}$ . Первые числа в этой последовательности таковы: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680, 271441, 710645, 1860496, 4870845, 12752041, 33385280, 87403801, 228826125, 599074576, 1568397605, 4106118241, 10749957120, 28143753121, 73681302245.

Применения окрошки из кошки

• В брошюре «Цепные дроби» В. И. Арнольд пытался дать геометрическое доказательство теоремы Лагранжа, утверждающей, что вещественное число имеет периодическое разложение в цепную дробь (возможно, с некоторым предпериодом) тогда и только тогда, когда это число есть квадратичная иррациональность . Его подход использовал окрошку из кошки. Для исследования введённых им «многомерных цепных дробей» он рассматривал аналогичные отображения торов большей размерности, например, автоморфизм трёхмерного тора, заданный матрицей ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}}$ . С его помощью его ученикам Цушиаши и Коркиной удалось найти некий аналог теоремы Лагранжа для кубических иррациональностей. Соотношение между вещественной многомерной окрошкой из кошки и комплексной геометрией , также связанной с кубическими иррациональностями, остаётся туманным.
• Отображение, аналогичное окрошке из кошки, может быть определено и для комплексных торов . По двумерному комплексному тору может быть построена куммерова K3-поверхность ; в этом случае окрошка из кошки задаёт отображение K3-поверхности. Теорема и утверждает, что всякая K3-поверхность с автоморфизмом, мера максимальной энтропии которого абсолютно непрерывна по мере Лебега, является куммеровой (то есть получается из тора; на этом торе автоморфизм будет действовать схожим образом с окрошкой из кошки).

Примечания