Совершенный кубоид — прямоугольный параллелепипед , у которого все семь основных величин (три ребра, диагонали его граней и диагональ самого параллелепипеда) являются натуральными числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — решение системы следующих диофантовых уравнений в натуральных числах:

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}}$

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. По состоянию на 2020 год компьютерный перебор не нашёл ни одного совершенного кубоида с рёбрами до 2,5·10 ¹³ . Впрочем, найдено несколько «почти совершенных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

• ${\displaystyle (672,153,104)}$ — одна из диагоналей грани нецелая.
• ${\displaystyle (18\,720,{\sqrt {211\,773\,121}},7800)}$ , ${\displaystyle (520,576,{\sqrt {618\,849}})}$ — одно из рёбер нецелое.
• Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ).
• Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла .

С сентября 2017 года поиском совершенного кубоида начал заниматься проект распределённых вычислений yoyo@home .

Эйлеров параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленны только рёбра и диагонали граней, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с диагоналями граней 267, 244 и 125, был найден в 1719 году . Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

• (275, 252, 240),
• (693, 480, 140),
• (720, 132, 85),
• (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название), которые задаются формулами, аналогичными формулам для пифагоровых троек . Эти семейства включают не все эйлеровы параллелепипеды. Известно, что среди них не может быть совершенного кубоида . Полного описания всех эйлеровых параллелепипедов нет.

Одно из семейств, полученных Эйлером, задается формулами при ${\displaystyle n>3}$ :

${\displaystyle a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n}$ .

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к совершенному кубоиду) :

• Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД ( a , b , c ) = 1).
• Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
• Одно ребро делится на 5.
• Одно ребро делится на 11.

Существует "неформульный" способ получения значений сторон «производного» эйлерова параллелепипеда на основе значений «родительского» эйлерова параллелепипеда (8). Для этого в фигуре выделяется три треугольника с целочисленными значениями сторон. Далее – из полученных треугольников посредством подбора значения их котангенса – определяются пифагоровы тройки. Эти тройки заносятся в таблицу. Приемом перекрестной расстановки в таблице двух значений (из трех) пифагоровых троек (посредством определенного алгоритма математических операций) вычисляются значения трех сторон «производного» эйлерова параллелепипеда.

См. также

• Открытые математические проблемы
• Пифагорова четвёрка
• Гипотезы о кубоидах

Примечания