Символ Кронекера (или дельта Кронекера или кронекериан ) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1 , если они равны, и 0 в противном случае :

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}$

Например, ${\displaystyle \delta _{12}=0}$ , но ${\displaystyle \delta _{33}=1}$ .

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса ${\displaystyle (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$ , а также — в общем случае — для определения дуальных базисов ${\displaystyle (e_{i},f^{j})=\delta _{i}^{j}}$ , где круглыми скобками обозначено скалярное произведение , а также для краткой записи единичной матрицы размера n : ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}}$ (элементы единичной матрицы записываются как ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор . В частности, могут использоваться различные написания ${\displaystyle \delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}}$ для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае ${\displaystyle \delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}}$ — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех) .

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году .

Примечания

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция