Interested Article - Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры . Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу .

Формулировка

Для начала введём несколько определений.

Пусть $A=(a_{ij})$ — матрица размера $n\times n$ , и пусть выбраны любые $k$ строк матрицы $A$ с номерами $i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ и любые $k$ столбцов с номерами $j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}$ .

Определитель матрицы, получаемой из $A$ вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором $k$ -го порядка, расположенным в строках с номерами $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ и столбцах с номерами $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$ . Он обозначается следующим образом:

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ :

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},

где $i_{k+1}<\ldots <i_{n}$ и $j_{k+1}<\ldots <j_{n}$ — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ определяется следующим образом:

A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

где $p=i_{1}+\ldots +i_{k}$ , $q=j_{1}+\ldots +j_{k}$ .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые $k$ строк матрицы $A$ . Тогда определитель матрицы $A$ равен сумме всевозможных произведений миноров $k$ -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

$\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},$

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов $j_{1},\ldots ,j_{k}.$

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать $k$ столбцов из $n$ , то есть биномиальному коэффициенту $\textstyle {n \choose k}$ .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Примеры

Рассмотрим квадратную матрицу

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix}}.

Выберем вторую и четвертую строки и разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа. Заметим, что в этих строках все миноры второго порядка, кроме ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$ , содержат нулевые столбцы, т.е. заведомо равны нулю и на сумму в теореме не влияют. Поэтому определитель будет равен:

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Из приведенного примера видно, что теорема Лапласа упрощает вычисление определителей не всех матриц, а только матриц особого вида. Поэтому на практике чаще используются другие методы, например, метод Гаусса . Теорема больше применяется для теоретических исследований.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения .

Пусть $A=(a_{ij})$ — квадратная матрица размера $n\times n$ . Пусть также задан некоторый номер строки $i$ либо номер столбца $j$ матрицы $A$ . Тогда определитель $A$ может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по $i$ -й строке :

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

Разложение по $j$ -му столбцу :

$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

где $A_{ij}$ — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером $i$ и столбце с номером $j$ . $A_{ij}$ также называют алгебраическим дополнением к элементу $a_{ij}$ .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить $k$ равным 1 и выбрать $i$ -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Примеры

Рассмотрим квадратную матрицу

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Разложим определитель по элементам первой строки матрицы:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Обратите внимание, что у алгебраического дополнения ко второму элементу первой строки отрицательный знак).

Также определитель можно разложить, например, по элементам второго столбца:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы $A$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство

Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной $k$ -ой строки матрицы $A$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, $i$ -ой строки матрицы $A$ . Пусть $A'$ – матрица, у которой все строки, кроме $i$ -ой, такие же, как у матрицы $A$ , а элементами $i$ -ой строки матрицы $A'$ являются соответствующие элементы $k$ -ой строки матрицы $A$ . Тогда у матрицы $A'$ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что $\det A'=0$ . С другой стороны, по следствию 1 определитель $\det A'$ равен сумме произведений всех элементов $i$ -ой строки матрицы $A'$ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов $i$ -ой строки матрицы $A'$ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов $i$ -ой строки матрицы $A$ . Но элементами $i$ -ой строки матрицы $A'$ являются соответствующие элементы $k$ -ой строки матрицы $A$ . Таким образом, сумма произведений всех элементов $i$ -ой строки матрицы $A'$ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов $k$ -ой строки матрицы $A$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов $i$ -ой строки матрицы $A$ .

Примечания

Smith, D. E. . — P. 18. 16 сентября 2009 года.

Литература

Ильин, В. А. , Позняк, Э. Г. . — 6-е изд. — М. : Физматлит, 2005. — С. -27. — ISBN 5-9221-0481-0 .
Прасолов, В. В. . — 2-е изд. — М. , 2008. — С. 42-45.
Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит , 2009. — С. 374-376.