Подземная гидравлика ( подземная гидродинамика ) — наука о движении нефти, воды, газа и их смесей (флюидов) через горные породы, имеющие пустоты, которые могут представлять собой поры или трещины. Теоретической основой ПГ является теория фильтрации, описывающая движение флюида с позиции механики сплошной среды.

Введение

Начало развития науке о движении жидкостей и газов в пористых и трещиноватых средах было положено исследованиями французских инженеров- механиков А. Дарси и Ж. Дюпюи . А. Дарси исследовал движение воды через вертикальные песчаные фильтры; в 1856 г. он сформулировал и опубликовал обнаруженный им экспериментально закон , согласно которому скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления. Ж. Дюпюи исследовал дифференциальное уравнение , описывающее движение грунтовых вод.

Основы моделирования пористых сред заложены Ч. Слихтером, рассмотревшим модели идеального и фиктивного грунта.

В конце XIX века Н. Е. Жуковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации, показал, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа , и указал на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации.

Определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении принадлежит Н. Н. Павловскому. Им же введен критерий Рейнольдса в подземную гидродинамику

Первая в мире обширная монография, содержащая систематическое изложение основ подземной гидравлики «Нефтепромысловая механика», была опубликована Л. С. Лейбензоном в 1934 году.

Пористые среды

Месторождения нефти приурочены чаще всего к пластам терригенных и карбонатных осадочных горных пород ( песчаников , известняков , алевритов, глин ) представляющих собой скопления зерен минералов скреплённых цементирующим материалом. Поровое пространство осадочных горных пород — сложная нерегулярная система сообщающихся межзереных пустот, в которых трудно выделить отдельные поровые каналы. Размеры пор в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров. Намного сложнее поровое пространство карбонатных пород (известняков, доломитов), которое характеризуется неоднородной системой первичных пор, а также системой трещин, каналов и каверн, образующихся после образования самой породы. Исследованием пористых сред (коллекторов) занимается петрофизика . Моделирование пористых сред и их классификация производится по двум основным направлениям: геометрическому и механическому.

Геометрические модели пористых сред

С геометрической точки зрения пористые среды делятся на две большие группы: гранулярные (поровые) и трещиноватые. Ёмкость и фильтрация в пористой среде определяется структурой порового пространства между зернами породы. Трещиноватые среды представляют собой систему развитых трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, метаморфизма, структурных условий, состава и свойств вмещающей среды. Чаще всего имеют место грунты смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит системе микротрещин, сообщающей эти пустоты между собой.

Для количественного описания используют идеализированные модели. Для описания пористых сред используют понятия фиктивного и идеального грунта. Фиктивный грунт это среда состоящая из шаров одного размера уложенных во всем объёме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра. Острый угол ромбоэдра изменяется от 60 до 90 градусов. Идеальным грунтом называют представление среды в виде трубочек, расположенных в ребрах элементарного ромбоэдра.

Трещиновато пористые среды рассматривают как совокупность разномасштабных пористых сред: системы трещин, где пористые блоки играют роль «зерен», а трещины — роль извилистых «пор» и системы пористых блоков. В простейшем случае трещиноватый пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин определённой протяженности, причем все трещины одинаково раскрыты и отстоят друг от друга на одинаковое расстояние.

Механические модели

Всякое изменение сил, действующих на горные породы вызывает их деформацию, а также изменение внутренних напряжений. Динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические соотношения получают в результате анализа экспериментальных данных натурных исследование или физического моделирования. По характеру изменения свойств под действием внешних деформаций породы разделяют на недеформируемые, упругие и пластичные. У недеформируемых сред изменением объёма пор можно пренебречь. Упругие (кулоновские) среды линейно изменяют объём пор под действием нагрузки и полностью восстанавливают его после разгружения. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. Пластичные (глины) и текучие (несцементированные пески) породы деформируются с остаточным изменением объёма.

Кроме того пористые среды могут быть изотропными или анизотропными.

Параметры пористой среды

Основной характеристикой пористой среды является пористость , определяемая как отношение объёма пор V _p к объёму породы V:

${\displaystyle m={\frac {V_{p}}{V}}}$ .

Для характеристики потока важную роль играет отношение площади просветов S _p ко всей площади образца S, называемое просветностью:

${\displaystyle n={\frac {S_{p}}{S}}}$ .

Для изотропной среды несложно доказать, что просветность равна пористости.

В реальных условиях пористый скелет обволакивается тонкой плёнкой жидкости, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. Кроме того, существуют тупиковые поры. В связи с этим вводят динамический коэффициент пористости, равный объёму пор занятых подвижной жидкостью V _pl , отнесённому к объёму образца:

${\displaystyle m_{d}={\frac {V_{pl}}{V}}}$

Структуру пористого пространства характеризуют эффективный диаметр частиц и гидравлический радиус пор. Динамика течения флюида определяется в основном трением флюида о скелет породы. В связи с этим вводится удельная поверхность частиц составляющих породу, определяемая как суммарная площадь поверхности частиц содержащихся в единице объёма.

Способность породы пропускать к забоям скважины флюиды называется её проницаемостью .

В модели фиктивного грунта сферических частиц все указанные характеристики пористой среды могут быть получены аналитическим путём.

В трещиноватых средах аналогом пористости служит трещиноватость:

${\displaystyle m_{t}={\frac {V_{t}}{V}}}$

Вторым важным параметром является густота трещин — отношение полной длины всех трещин находящихся в данном сечении трещинной породы l к удвоенной площади сечения S:

${\displaystyle G={\frac {l}{2S}}}$

Кроме этого, трещиноватая среда характеризуется средней длиной трещин и их раскрытостью. Также, ввиду очевидной анизотропии трещины, проницаемость данных пород описывается тензорной величиной, для определения которой разработаны различные аналитические и численные методы .

Основы теории фильтрации

Для анализа движения жидкости и газов в пористой среде, как и в обычной механике сплошных сред, используются уравнения непрерывности, движения и состояния . Уравнение непрерывности в теории фильтрации приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho {m})}{\partial t}}+div(\rho w)=0,}$

где m -пористость среды, ρ — плотность флюида, w — скорость фильтрации.

Уравнение движения в пористых средах устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и полем давления, вызывающего течение. Уравнение движения в пористых средах выражает закон сохранения импульса и, в случае фильтрации ньютоновской жидкости, может быть получено из уравнений Навье — Стокса , описывающих течение жидкости внутри пор, с помощью осреднения. В простейшем случае линейной фильтрации в качестве уравнения движения используется закон Дарси . В задачах нелинейной фильтрации различают два случая: больших и малых скоростей.

При больших скоростях, когда существенна инерционная составляющая используется формула Форхгеймера

${\displaystyle {\frac {\delta p}{L}}={\frac {\eta }{f}}w+{\frac {\beta }{\sqrt {f}}}w^{2}}$

Где η — динамическая вязкость жидкости, f проницаемость среды. На практике используется так же закон фильтрации в виде

${\displaystyle w=\mathbf {C} ({\frac {\delta p}{L}})^{\frac {1}{n}}}$

где n и С — постоянные, определяемые опытным путём, причем 1< n < 2.

При малых скоростях фильтрации проявляются неньютоновские реологические свойства жидкости. Неньютоновское поведение жидкости проявляется в отклонении связи касательного напряжения и градиента скорости фильтрации в направлении перпендикулярном направлению течения от выражения

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {dw}{dy}}}$

представляющему собой уравнение прямой линии, проходящей через начало координат. Различают три класса неньютоновских жидкостей.

1. Стационарно реологические жидкости, для которых напряжение зависит только от градиента скорости. К жидкостям этого типа относятся вязкопластичные, дилатантные и псевдопластичные жидкости.

2. Нестационарно реологические жидкости, напряжения в которых зависят как от градиента скорости, так и от времени действия напряжений.

3 Вязкоупругие жидкости, то есть среды проявляющие свойства как жидкости так и твердого тела а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. У этих жидкостей зависимость напряжения от градиента скорости включает в себя производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.

Полученная система уравнений для проведения дальнейших расчётов дополняется уравнениями, связывающими плотность флюида и параметры пористой среды с давлением.

Примечания

Литература

• Barrenblatt G.E., Zheltov I.P., Kochina I.N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Liquids in Fissured Rocks. Journal of Applied Mathematics, vol. 25, 1960.
• Dietrich P. et al. Flow and Transport in Fractured Porous Media. — Springer-Verlag, Berlin, 2005.
• Барренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972. — 288 с.
• Басниев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика: Учебник для вузов. — М.: Недра, 1986. — 303 с.
• Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. — М.-Ленинград: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1947. — 244 с.
• Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — 2 изд.— М.: Недра, 1977. — 664 с.