Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.

Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо в 1943 году.

Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.

Формулировка

Любая нетривиальная конечно порожденная группа ${\displaystyle G}$ может быть разложена как свободное произведение

${\displaystyle G=A_{1}*\dots *A_{r}*F_{s}}$ ,

где каждая из группа ${\displaystyle A_{i}}$ нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа ), и ${\displaystyle F_{s}}$ — свободная группа ранга ${\displaystyle s}$ . Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.

Замечания

• Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть

  ${\displaystyle \mathrm {rank} (A*B)=\mathrm {rank} A+\mathrm {rank} B}$

для любой пары конечнопорождённых групп ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . Единственность требует дополнительного рассуждения.

Литература

• И. А. Грушко. О базисах свободного произведения групп // Математический сборник. — 1940. — Т. 8(50) , № 1 . — С. 169–182 .
• B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.