Теорема о трёх перпендикулярах — фундаментальная теорема стереометрии .

Формулировка

Прямая , проведённая в плоскости через наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle AB}$ — перпендикуляр к плоскости ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle AC}$ — наклонная и ${\displaystyle c}$ — прямая в плоскости ${\displaystyle \alpha }$ , проходящая через точку ${\displaystyle C}$ и перпендикулярная проекции ${\displaystyle BC}$ . Проведём прямую ${\displaystyle CK}$ параллельно прямой ${\displaystyle AB}$ . Прямая ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle \alpha }$ (так как она параллельна ${\displaystyle AB}$ ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c}$ . Проведём через параллельные прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CK}$ плоскость ${\displaystyle \beta }$ (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая ${\displaystyle c}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ${\displaystyle \beta }$ , это ${\displaystyle BC}$ по условию и ${\displaystyle CK}$ по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой ${\displaystyle AC}$ .

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α , АС — наклонная и с — прямая в плоскости α , проходящая через основание наклонной С . Проведем прямую СК , параллельно прямой АВ . Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с . Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β , это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС . Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с , лежащей в плоскости α .

Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α . В плоскости α через точку А можно провести прямую b , перпендикулярную а .

Примечания

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.