Interested Article - Критерий Андерсона — Дарлинга

Классический непараметрический критерий согласия Андерсона — Дарлинга [1, 2] предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону (о согласии эмпирического распределения $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)$ и теоретического закона $F(x,\theta)$ $F(x,\theta)$ ) , то есть для проверки гипотез вида $H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta)$ $H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta)$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии $\Omega ^{2}$ $\Omega ^{2}$ Андерсона — Дарлинга [1, 2] используется статистика вида:

$S_{\Omega }=-n-2\sum _{i=1}^{n}\left\{{\frac {2i-1}{2n}}\ln(F(x_{i},\theta))+\left(1-{\frac {2i-1}{2n}}\right)\ln(1-F(x_{i},\theta))\right\}$ $S_{\Omega }=-n-2\sum _{i=1}^{n}\left\{{\frac {2i-1}{2n}}\ln(F(x_{i},\theta))+\left(1-{\frac {2i-1}{2n}}\right)\ln(1-F(x_{i},\theta))\right\}$ ,

где $n$ $n$ — объём выборки, $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида $a2(S)$ $a2(S)$ [2, 3, 4].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики . Процентные точки распределения $a2(S)$ $a2(S)$ приведены в [3, 4].

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида $H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta),\theta \in \Theta \right\}$ $H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta),\theta \in \Theta \right\}$ , где оценка ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ скалярного или векторного параметра распределения $F(x,\theta)$ $F(x,\theta)$ вычисляется по той же самой выборке, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения [5, 4] (распределением статистики при справедливости $H_{0}$ $H_{0}$ уже не будет являться распределение $a2(S)$ $a2(S)$ ).

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона $F(x,\theta)$ $F(x,\theta)$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе $H_{0}$ $H_{0}$ ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. также

Литература

Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212.
Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769.
Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
Р 50.1.037-2002. — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с.
Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.

Ссылки

О применении критерия при проверке сложных гипотез :

// Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39. — No. 3. — P. 460—471.
// Измерительная техника. — 2009. — № 6. — С. 3—11.
// Измерительная техника. — 2009. — № 8. — С. 17—26.

О мощности критериев согласия :

// Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 2(34). — С. 96—111.
// Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4(36). — С. 78—93.
// Измерительная техника. — 2007. — № 2. — С. 22—27.