Interested Article - Задание группы

Задание группы в теории групп — один из методов описания группы , который состоит в указании её образующих и соотношений между ними. Задание группы также называют её копредставлением или генетическим кодом .

Краткое описание данного метода состоит в следующем. Пусть подмножество $S$ $S$ группы $G$ $G$ порождает её, то есть каждый её элемент может быть записан словом в алфавите из элементов из $S$ $S$ и обратных к ним. При такой кодировке конкатенация слов соответствует умножению элементов группы, а значит, теоретически вся групповая структура задаётся информацией о том, какие пары таких слов представляют один и тот же элемент группы $G$ $G$ . Такие пары называются соотношениями. Некоторые соотношения можно вывести из других, например, если $ab=ba$ $ab=ba$ и $b=c$ $b=c$ , то $ac=ca$ $ac=ca$ . Метод задания группы образующими и соотношениями состоит в том, чтобы указать (по возможности небольшой) список $R$ $R$ определяющих соотношений , которого, с учетом заранее оговоренных правил вывода, хватит для хранения полной информации о группе. В этом случае пишут $G\cong \langle S\mid R\rangle$ $G\cong \langle S\mid R\rangle$ .

Данный метод описания групп более эффективен чем, например, таблицы Кэли . Так, использование таблиц Кэли невозможно для бесконечных групп и нецелесообразно даже для конечных групп большого порядка. Например, таблица Кэли циклической группы порядка $n$ $n$ состоит из $n^{2}$ $n^{2}$ элементов, но эта группа допускает вполне краткое задание: $\langle a\mid a^{n}=1\rangle$ $\langle a\mid a^{n}=1\rangle$ , которое означает, что любой её элемент можно записать как степень элемента $a$ $a$ , и при этом $n$ $n$ — наименьшая такая степень, что $a^{n}$ $a^{n}$ — нейтральный элемент.

Каждая не более чем счётная группа допускает задание образующими и соотношениями. Смысл обозначения $G\cong \langle S\mid R\rangle$ $G\cong \langle S\mid R\rangle$ состоит в том, что если группа имеет такое задание, то она изоморфна факторгруппе свободной группы с базисом $S$ $S$ по нормальному замыканию множества $R$ $R$ определяющих соотношений .

Предыдущий изоморфизм позволяет установить так называемое универсальное свойство задания групп образующими и соотношениями. Так, с точки зрения теории категорий группа $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ — это «наиболее свободная» из всех групп, порождаемых $S$ $S$ , в которой элементы из $S$ $S$ подчиняются соотношениям из $R$ $R$ .

Задания являются основным инструментом комбинаторной теории групп .

Связанные определения

Группа называется конечно представимой , конечно заданной или конечно определённой , если она может быть задана конечным числом образующих и конечным числом соотношений.

Каждая конечно представимая группа является конечно порождённой , но обратное в общем случае неверно. Например, лампочная группа является конечно порождённой, но не конечно представимой.

Терминология

Термин « задание » не является абсолютно общеупотребительным. В некоторых книгах используется термин « (генетический) код группы ». Также можно встретить понятие « представление группы » в обсуждаемом здесь смысле , оно может считаться переводом англ. group presentation , однако является двусмысленным, так как термин представление группы ( англ. group representation) широко распространён для так называемых линейных представлений групп — последние никак не связаны с заданием и, более того, в каком-то смысле противоположны ему.

Имея в виду последнее, задание также иногда называют « копредставлением ». Вернее, копредставлением может называться упомянутый выше изоморфизм факторгруппы свободной группы в рассматриваемую группу $G$ $G$ . Приставка «ко-» указывает на дуальность этого изоморфизма по отношению к представлению группы, «когда, наоборот, гомоморфизм строится не „в“ G, а „из“ G в некоторую [хорошо изученную] группу линейных операторов, перестановок и т. п.» .

Свойства

Имеет место теорема о том, что произвольная группа является факторгруппой подходящей свободной группы по некоторой нормальной подгруппе , так что любая группа обладает заданием. Задание не обязано быть единственным. Доказать или опровергнуть, что два задания определяют одну и ту же группу, сложно (старое название проблемы — одна из проблем Дэна). В общем случае эта проблема алгоритмически неразрешима . Существует несколько классов групп, для которых построен алгоритм решения этой проблемы. Перейти от одного задания группы к другому позволяют преобразования Титце четырёх типов: первое преобразование Титце — это добавление в множество соотношений нового соотношения, выводимого из старых; второе преобразование Титце — это ввод новой переменной, выраженной через старые; третье и четвёртое преобразования Титце обратны первому и второму соответственно. Ввиду алгоритмической неразрешимости проблемы, поиск цепочки преобразований Титце одного представления в другое является своего рода искусством.

По заданию группы также сложно определить и другие свойства группы, например её порядок или подгруппу кручения .

Примеры

В следующей таблице перечислены способы задания некоторых часто встречающихся групп. В каждом случае существуют и другие возможные задания.

Группа	Задание	Пояснения
Свободная группа на S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$ $\langle S\mid \varnothing \rangle$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что она не ограничивается никакими соотношениями.
Z _n — циклическая группа порядка n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$ $\langle a\mid a^{n}\rangle$
D _n — группа диэдра порядка 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ $\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ или $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$ $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r обозначает поворот, s — симметрию
D _∞ —	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$ $\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Группа кватернионов Q ₈	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle$ $\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle$ или $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$ $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Обобщённая группа кватернионов Q _{4 n}	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$ $\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$
свободная абелева группа на S	$\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$	R — множество всех коммутаторов элементов S
Симметрическая группа S _n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$ $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$ или $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$ $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$	σ _i — транспозиция, меняющая местами i -й элемент с i +1-м.
Группа кос B _n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$ $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|i-j\|>1\rangle$	Единственное отличие от симметрической группы — исчезновение соотношений $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ .
Знакопеременная группа A _n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$ $\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$ $s_{i}\to (12i)$
Группа вращений тетраэдра , T ≅ A ₄	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$ $\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Группа вращений октаэдра , O ≅ S ₄	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$ $\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Группа вращений икосаэдра , I ≅ A ₅	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$ $\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Группа Коксетера	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$ $\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r _n — отражения в гранях многогранника, $m_{ii}=1$ $m_{ii}=1$ и $m_{ij}\geqslant 2$ $m_{ij}\geqslant 2$ при $i\neq j$ $i\neq j$ , $m_{ij}=\infty$ $m_{ij}=\infty$ — если грани не образуют двугранного угла в многограннике
Группа треугольника Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle$ $\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle$	a , b , c — отражения
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$ $\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$ $\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$ $\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z)	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$ $\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Модулярная группа PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$ $\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) — свободное произведение Z /2 Z и Z /3 Z
Группа Титса F ₄ (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$ $\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] — коммутатор

См. также

Свободная группа

Ссылки

Имеется в виду нормальное замыкание множества всех слов вида $uw^{-1}$ $uw^{-1}$ , где $u=w$ $u=w$ — соотношение из $R$ $R$ .
1.3 // Общая алгебра / Под общей редакцией Л. А. Скорнякова. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1990. — Т. 1. — 592 с.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — Лань, 2009.
Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М. : Мир, 1980.
Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений. — М. : Наука, 1974.
Ольшанский А. Ю. § 4 // Геометрия определяющих соотношений в группах. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1989. — 448 с.