В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени ) — неэлементарная функция действительного переменного:

${\displaystyle F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.}$

Свойства

Общие свойства

• Нечётная функция : ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$ .
• Производная : ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)}$ .
• Неопределённый интеграл : ${\displaystyle \int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-x^{2}\right)}$ , где ${\displaystyle {}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)}$ - .
• Является дробной производной обратной экспоненты : ${\displaystyle D^{-1/2}e^{-x}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}F({\sqrt {x}})}$ .
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения ${\displaystyle 1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0}$ : ${\displaystyle F(0,9241388730)=0,541044246}$ . Дроби задаются последовательностями цифр последовательность в OEIS и последовательность в OEIS .
• Имеет точку перегиба : ${\displaystyle F(1,5019752683)=0,4276866160}$ (последовательность в OEIS ).
• Раскладывается в цепные дроби :

${\displaystyle F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}}$

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf :

${\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erf} (ix)}$

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi( x ) = − i erf( ix ).

Асимптотика

Для | x |, близких к нулю, F ( x ) ≈ x , а для | x | больших, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд :

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots }$

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }$

(этот степенной ряд сходится при всех x ) и, около ${\displaystyle +\infty }$ , имеется асимптотическое разложение :

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}$

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд ).

Альтернативное определение

F ( x ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1}$

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: ${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt}$ , тогда вводят "симметричную" её в нотации: ${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$ ; в таких обозначениях:

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)}$ и

${\displaystyle D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{x^{2}}\mathrm {erf} (x)}$ .

См. также

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

Литература

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press , ISBN 978-0521192255

Ссылки

• — Библиотека математических функций на C и C++
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .