Хи-функция Лежандра — это специальная функция , названная по имени французского математика Адриен Мари Лежандра . Хи-функция Лежандра определяется рядом Тейлора также являющимся рядом Дирихле :

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$

Таким образом Хи-функция Лежандра тривиально выражается через полилогарифм :

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]}$

Хи-функция Лежандра возникает в дискретном преобразовании Фурье , по индексу ν дзета-функции Гурвица , а также .

Хи-функция Лежандра является частным случаем :

${\displaystyle \chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).}$

Литература

• Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — No. 68 . — P. 1623-1630 .
• Djurdje Cvijović. "Integral representations of the Legendre chi function" (англ.) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2006. — Vol. 2 , no. 332 . — P. 1056-1062 . — ISSN .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .