Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году . График функции представляет собой меандр .

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)}$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ , поскольку:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {rad} _{n}(x)\cdot \operatorname {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}}$ ,

где ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — символ Кронекера .

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша :

${\displaystyle \operatorname {wal} _{\nu }(x)=\operatorname {rad} _{\operatorname {lb} \nu }(x)}$ ,

где ${\displaystyle \operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu }$ — двоичный логарифм .

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара ${\displaystyle \psi (x)}$ :

${\displaystyle \operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)}$

Примечания

Ссылки

• в WolframMathWorld
• — статья из Encyclopedia of mathematics