Кардина́льный си́нус , sinc (от лат. sinus cardinalis ) — математическая функция . Обозначается sinc( x ) . Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как

   ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

2. В математике ненормированная функция sinc определяется как

   ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

Нормировка функции выполняется из условия:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1}$

откуда ${\displaystyle a=\pi .}$

для ненормированной функции ( ${\displaystyle a=1}$ ):

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .}$

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице ( см. Замечательные пределы ). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(0\right)=1}$ и ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(k\right)=0}$ для всех ${\displaystyle k\neq 0}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ( целые числа ); то есть это интерполянт .

• функции ${\displaystyle x_{k}\left(t\right)=\operatorname {sinc} \left(t-k\right)}$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$ , с наибольшей круговой частотой ${\displaystyle \omega _{H}=\pi }$ .

• Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc находятся в точках, где значения функции sinc совпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиков sinc и cos ) - условие равенства нулю производной ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ (локальный экстремум в точке ${\displaystyle x=a}$ ) выполняется при условии ${\displaystyle {\frac {\sin a}{a}}=\cos a}$ .

• Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π , а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

• Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc( x ) .

• Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}}$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции ${\displaystyle \operatorname {rect} \left(f\right)}$ .

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} \left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt=\operatorname {rect} \left(f\right)}$ ,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение в бесконечное произведение :

${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• Выражение через гамма-функцию :

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma \left(x\right)}$ — гамма-функция.

Использование и приложения

• Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле ( дифракция Фраунгофера , дифракция на щели ). sinc-функция встречается в теории антенн , радаров , в акустике и т. д.
• Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
• В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь ( теорема Котельникова ).
• Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша , применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
• Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности .
• Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
• Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе .

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр , который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза , оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области ( АЧХ ) представляет собой прямоугольную функцию , а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

• Сглаживание
• sinc-фильтр
• Атомарная функция
• Интегральный синус