В теории категорий , подфунктор — специальный тип функтора в Set , использующий определение подмножества .

Определение

Пусть C — категория и F — функтор из C в категорию множеств Set . Функтор G из C в Set — подфунктор F , если

1. для всех объектов c категории C G ( c ) ⊆ F ( c ), и
2. для всех стрелок f : c ′→ c категории C , G ( f ) — это ограничение F ( f ) на G ( c ′).

Это отношение часто записывают как G ⊆ F .

Например, пусть 1 — категория из одного объекта и одного морфизма. Функтор F : 1 → Set отображает единственный объект 1 во множество S и тождественную стрелку 1 - в тождественную функцию 1 _S . Легко видеть, что подфункторы F в точности соответствуют подмножествам S .

Замечания

Подфункторы и в более общих ситуациях обобщают понятие подмножества. Например, если рассмотреть категорию C из открытых множеств некоторого топологического пространства по вложению, то контравариантным функторам в Set соответствуют предпучки на этом пространстве, то есть сопоставление каждому открытому подмножеству некоторого множества (например, множества функций) с соответствующими отображениями ограничения. В этом случае подфунктору соответствуют выбор подмонжества в каждом «множестве функций» таким образом, чтобы отображения ограничения «остались теми же». Например, предпучок гладких функций — подфунктор предпучка непрерывных функций.

Наиболее важный пример подфунктора — подфункторы функтора Hom . Пусть c — объект C , рассмотрим функтор Hom(−, c ). Этот функтор сопоставляет объекту c ′ категории C все морфизмы c ′→ c . Подфунктор Hom(−, c ) сопоставит только некоторое подмножество морфизмов, с теми же морфизмами замены при переходе к другой точке c . Такой подфунктор называется решетом , и обычно используется при определении топологий Гротендика .