Лемма Йонеды ( Ёнэды ) — результат о функторе Hom ; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств . Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений .

Названа Саундерсом Маклейном в честь Нобуо Ёнэды , сообщившего ему этот результат в частной беседе в 1954 или 1955 году.

Общий случай

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта ${\displaystyle A}$ можно рассмотреть ковариантный функтор Hom , обозначаемый:

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ .

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , естественные преобразования из ${\displaystyle h^{A}}$ в произвольный функтор ${\displaystyle F}$ из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию множеств ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами ${\displaystyle F(A)}$ :

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)}$ .

Для данного естественного преобразования ${\displaystyle \Phi }$ из ${\displaystyle h^{A}}$ в ${\displaystyle F}$ соответствующий элемент ${\displaystyle F(A)}$ — это ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)}$ ,

отправляющий ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$ . Для произвольного контравариантного функтора ${\displaystyle G}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)}$ .

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме :

Диаграмма показывает, что естественное преобразование ${\displaystyle \Phi }$ полностью определяется ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ , так как для любого морфизма ${\displaystyle f\colon A\to X}$ :

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$ .

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого ${\displaystyle u\in F(A)}$ (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор ${\displaystyle F}$ также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)}$ .

Отображение каждого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в соответствующий Hom-функтор ${\displaystyle h^{A}=Hom(A,-)}$ и каждый морфизм ${\displaystyle f\colon B\to A}$ в соответствующее естественное преобразование ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ задаёт контравариантный функтор ${\displaystyle h^{-}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ , либо ковариантный функтор:

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ .

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что ${\displaystyle h^{-}}$ — вполне унивалентный функтор , то есть задаёт вложение ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ в категорию функторов в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ .

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)}$ .

Следовательно ${\displaystyle h_{-}}$ задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}}$ .

Литература

• Freyd, Peter (1964), , Harper's Series in Modern Mathematics (2003 reprint ed.), Harper and Row, Zbl
• Mac Lane, Sounders . (англ.) . — 1998. — Vol. 47 . — P. 155—156 .
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .