Interested Article - Сравнение топологий
- 2021-10-07
- 1
Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве . Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения .
Определение
Пусть и — две топологии на множестве такие что содержится в
Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей ), чем Соответственно, топология называется более тонкой ( более сильной , большей ). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.
Бинарное отношение задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества
Примеры
Наиболее тонкая топология на — дискретная топология , в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.
Наиболее грубая топология на относительно которой удовлетворяет аксиоме отделимости T 1 , называется T 1 -топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества , а также всё
Свойства
Пусть и — две топологии на множестве Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- Тождественное отображение непрерывно .
- Тождественное отображение является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением ).
Также из определений немедленно следуют данные утверждения:
- Непрерывное отображение останется непрывным, если топологию на заменить на более грубую (соответственно, топологию на — на более тонкую).
- Открытое отображение останется открытым, если топологию на заменить на более тонкую (соответственно, топологию на — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.
Решётка топологий
Множество топологий на образует относительно отношения Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой .
Любая полная решётка является также , в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.
Примечания
- Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .
- 2021-10-07
- 1