Interested Article - Категория запятой

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов . Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Общее определение

Категорию запятой (обозначение Ловера — ) для функторов и можно построить следующим образом:

  • объекты — все тройки вида , где — объект , — объект , и — морфизм в ,
  • морфизмы из в — все пары , где , — морфизмы в и соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует :

Композиция морфизмов берётся как , если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта — это .

Категории объектов и морфизмов

Категория объектов над заданным объектом — категория запятой , где — , а — функтор из категории с одним объектом и одним морфизмом, заданный как . В этом случае используют обозначение . Объекты вида — это просто пары , где . Иногда в этой ситуации обозначают как . Морфизм из в — это морфизм , замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под . В этом случае используют обозначение . Объекты — пары , где . Морфизм между и — отображение , замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой , её объекты — морфизмы , а морфизмы — коммутативные квадраты в .

Примеры

Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой , где — функтор, выбирающий некоторый синглетон и — тождественный функтор для категории множеств . Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой .

Категория графов — это категория запятой , где — функтор, отправляющий в . Объекты вида состоят из двух множеств и функции; — индексирующее множество для рёбер, — множество вершин, тогда выбирает пару элементов для каждого , то есть выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер . Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Забывающие функторы

Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза , который отображает:

  • объекты: ,
  • морфизмы: ,

и функтор образа , который отображает:

  • объекты: ,
  • морфизмы: .

Сопряжения

Функторы и сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой и изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент . Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования

Если образы функторов и совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в с совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование . Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида , тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию , где соответствует функтор который отображает объект в и морфизмы в . Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями и функторами , которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из .

Примечания

  1. Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. (неопр.) . — John Wiley & Sons , 1990. — ISBN 0-471-60922-6 . 21 апреля 2015 года.

Литература

  • Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Источник —

Same as Категория запятой