Interested Article - Резольвента (гомологическая алгебра)

Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры , в частности служащий для вычисления функторов Ext и .

Проективная резольвента

Компле́ксом ( X , ε ) над R -модулем C называется последовательность

$\cdots ~X_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}~\cdots ~{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}X_{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}C{\longrightarrow }0$ (*)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна , то есть все гомологии H _n ( X ) = ker d _n /im d _{n

+1} = 0 при n > 0 и H ₀ ( X ) = ker d ₀ /im d ₁ = X ₀ /im d ₁ = X ₀ /ker ε изоморфна C (считая d ₀ : X ₀ → 0 ), то данный комплекс называется резольвентой R . Так как любой модуль C является фактормодулем свободного, то любой модуль C можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.

Наименьший индекс k , такой что все X _n при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.

Функторы Ext ⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R -модули, а ε : X → C — любая проективная резольвента C , то Ext ⁿ ( C , A ) изоморфен группе когомологий H ⁿ ( X , A ) = H ⁿ (Hom _R ( X , A )) . Функторы Tor _n находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R -модули, а ε : X → C — любая проективная резольвента C , то Tor _n ( C , A ) изоморфен группе гомологий H _n ( X ⊗ _R A ) .

Инъективная резольвента

Комплексом ( Y , ε ) под R -модулем A называется последовательность:

$0{\longrightarrow }A{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}Y^{0}{\stackrel {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}Y^{1}{\stackrel {\delta ^{2}}{\longrightarrow }}~...~{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}Y^{n}{\stackrel {\delta ^{n+1}}{\longrightarrow }}Y^{n+1}{\longrightarrow }~\cdots$ (**)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные , комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии H ⁿ ( Y ) = ker δ ^{n

+1} /im δ ⁿ = 0 при n > 0 и H ⁰ ( Y ) = ker δ ¹ /im δ ⁰ = ker δ ¹ = im ε изоморфна A (считая δ ⁰ : 0 → Y ⁰ ), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Ext ⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R -модули, а ε : A → Y — любая инъективная резольвента A , то Ext ⁿ ( C , A ) изоморфен группе когомологий H ⁿ (Hom _R ( C , Y )) .