L-функция Артина — это вид ряда Дирихле , связанный с представлением ${\displaystyle \rho }$ группы Галуа ${\displaystyle G}$ расширения числового поля . Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином , в связи с его работой в теории полей классов . Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина , описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L -функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса . До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.

Определение

Пусть ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$ — представление группы ${\displaystyle G}$ в конечномерном комплексном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ , где ${\displaystyle G}$ - группа Галуа конечного расширения ${\displaystyle L/K}$ числового поля . L -функция Артина ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ тогда равна бесконечному произведению эйлеровых множителей по всем простым идеалам ${\displaystyle P}$ . Для каждого простого идеала ${\displaystyle P}$ из кольца целых ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ поля ${\displaystyle K}$ , эйлеровский множитель легко определяется в случае, если ${\displaystyle P}$ является неразветвлённым в ${\displaystyle L}$ (что верно для почти всех ${\displaystyle P}$ ). В этом случае, элемент Фробениуса ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{P}}$ определяется как класс сопряженности в ${\displaystyle G}$ . Следовательно, характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle \rho (\mathrm {Frob} _{P})}$ вполне определён. Эйлеровский множитель ${\displaystyle P}$ представляет собой небольшую модификацию характеристического многочлена, так же чётко определенного:

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathrm {Frob} _{P}))^{-1}=\operatorname {det} [E-t\rho (\mathrm {Frob} _{P})]^{-1},}$

как рациональная функция от ${\displaystyle t}$ , взятого в точке ${\displaystyle t=N(P)^{-s}}$ , где ${\displaystyle s}$ - комплексная переменная, как в обычной дзета-функции Римана . (Здесь ${\displaystyle N}$ - норма идеала).

Если ${\displaystyle P}$ разветвлено, а ${\displaystyle I}$ — группа инерции , которая является подгруппой ${\displaystyle G}$ , используется сходная конструкция, но подпространство ${\displaystyle V}$ поточечно инвариантно при действии ${\displaystyle I}$ .

Как показывает , когда ${\displaystyle G}$ — абелева группа , L -функции Артина являются L -функциями Дирихле при ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ , а в общем случае являются . Нетривиальные отличия появляются при неабелевой группе ${\displaystyle G}$ и её представлении.

Пример применения — разложить на множители дзета-функции Дедекинда в случае числового поля, которое является расширением Галуа над рациональными числами. Так как регулярное представление разлагается в неприводимые представления , то и дзета-функция Дедекинда представляется в виде произведения L -функций Артина, при любом неприводимом представлении ${\displaystyle G}$ .

Более точно, если ${\displaystyle L/K}$ — расширение Галуа степени ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle \rho }$ — неприводимое представление ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ , то разложение ${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(\rho _{\text{regular}},s)=\prod \limits _{\rho }L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$ следует из

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod \limits _{P\in K}{\frac {1}{\det[E-N(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _{P}){\scriptstyle |V_{P,\rho }}]}},}$

${\displaystyle -\ln \det[E-N(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _{P})]=\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {tr} (\rho (\mathrm {Frob} _{P})^{m})}{m}}N(P)^{-sm}}$

${\displaystyle \sum \limits _{\rho {\text{ неприводимо}}}\deg(\rho )\operatorname {tr} (\rho (\sigma ))={\begin{cases}n{\text{ при }}\sigma =1\\0{\text{ иначе }},\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ неприводимо}}}\deg(\rho )\ln \det[E-N(P^{-s})\rho (\mathrm {Frob} _{P})]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N(P)^{-sfm}}{fm}}=-\ln[(1-N(P)^{-sf})^{n/f}]}$

где ${\displaystyle \deg(\rho )}$ — степень неприводимого представления в регулярном представлении, ${\displaystyle f}$ — это порядок ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{P}}$ и ${\displaystyle n}$ заменено на ${\displaystyle n/e}$ для ветвящихся простых.

Поскольку характеры образуют ортонормированный базис, после доказательства некоторых аналитических свойств ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ мы получаем как обобщение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии .

Функциональное уравнение

L-функции Артина удовлетворяют . Функция ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ связана с ${\displaystyle L(\rho ^{*},1-s)}$ , где ${\displaystyle \rho ^{*}}$ обозначает . Более точно, ${\displaystyle L}$ заменяется на ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$ , в котором ${\displaystyle L}$ умножена на некоторые гамма-множители , и тогда выполняется соотношение между мероморфными функциями

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$

где ${\displaystyle W(\rho )}$ — некоторое комплексное число с модулем 1, называемое корневое число Артина . Оно глубоко изучено в отношении двух типов его свойств. Во-первых, Ленглендс и Делинь разложили его в произведение ; Это важно в связи с гипотетическими связями с . Во-вторых, случай когда ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \rho ^{*}}$ являются эквивалентными представлениями точно соответствует случаю, когда в функциональном уравнении с обеих сторон стоят одинаковые L -функции. Это, говоря алгебраическим языком, случай, когда ${\displaystyle \rho }$ - это или . Корневое число Артина в этом случае равно ${\displaystyle \pm 1}$ . Вопрос о том, какой именно знак имеет место, связан с теорией ( ).

Гипотеза Артина

Гипотеза Артина утверждает, что если ${\displaystyle \rho }$ — нетривиальное неприводимое представление, то L -функция Артина ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ является аналитичной на всей комплексной плоскости .

Известно, что для одномерных представлений L -функция Артина будет связана с - и в частности с L -функцией Дирихле . Артин доказал более общее утверждение, что гипотеза Артина верна для любых представлений, индуцированных одномерными представлениями. Если группа Галуа является сверхразрешимой или, более общо, , то все их представления таковы, что гипотеза Артина выполняется.

Андре Вейль доказал гипотезу Артина в случае .

Двумерные представления классифицируются по образам своих подгрупп: они могут быть цикличными, диэдральными, тетраэдральными, октаэдральными или икосаэдральным. Гипотеза Артина для циклического и диэдрального случая легко получается из работы Гекке . Ленглендс использовал замену базы для доказательства тетраэдрального случая, а Таннел расширил его работу, покрыв октаэдральный случай; Уайлс использовал эти случаи в его доказательстве гипотезы Таниямы-Шимуры . Ричард Тейлор и другие получили некоторый прогресс в этом ( неразрешимом ) икосаэдральном случае; это сейчас активная область исследований.

Из следует, что все L -функции Артина разлагаются в произведение целых степеней , и следовательно мероморфны на всей комплексной плоскости.

harvtxt error: якоря не существует: CITEREFЛенглендс1970 ( помощь ) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов программы Ленглендса , связанных с L-функциями, ассоциированных с для GL(n) для всех ${\displaystyle n\geqslant 1}$ . Точнее говоря, гипотезы Ленглендса ассоциируют автоморфное представление ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(A_{\mathbb {Q} })}$ с каждым ${\displaystyle n}$ -мерным неприводимым представлением группы Галуа, которое является , если представление Галуа неприводимо, так что L -функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L -функцией автоморфного представления. Гипотеза Артина тогда сразу следует из известного факта, что L -функции каспидальных автоморфных представлений являются голоморфными. Это было одним из главных мотивов работы Ленглендса.

Гипотеза Дедекинда

Ослабленная гипотеза (иногда называемая гипотезой Дедекинда) утверждает, что если ${\displaystyle M/K}$ — расширение числового поля, то частное ${\displaystyle \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$ их дзета-функций Дедекинда является целой функцией .

утверждает, что гипотеза остается верной в случае, если расширение ${\displaystyle M/K}$ является расширением Галуа.

Более общо, пусть ${\displaystyle N}$ — замыкание Галуа ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle K}$ , а ${\displaystyle G}$ — группа Галуа ${\displaystyle N/K}$ . Частное ${\displaystyle \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$ равно L -функции Артина, ассоциированной с естественным представлением, связанным с действием ${\displaystyle G}$ на комплексных вложениях ${\displaystyle M}$ , сохраняющих ${\displaystyle K}$ на месте. Таким образом гипотеза Артина влечёт гипотезу Дедекинда.

Гипотеза была доказана в случае, когда ${\displaystyle G}$ является разрешимой группой , независимо Учидой и ван дер Ваалем в 1975.

Ссылки

• Artin, E. Uber eine neue Art von L Reihen (неопр.) // Hamb. Math. Abh.. — 1923. — Т. 3 . Reprinted in his collected works, ISBN 0-387-90686-X . English translation in by N. Snyder.
• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (нем.) , 8 : 292—306, doi : , JFM
• Tunnell, Jerrold. Artin's conjecture for representations of octahedral type (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1981. — Vol. 5 , no. 2 . — P. 173—175 . — doi : .
• (англ.) ( . Automorphic forms and Artin's conjecture // Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) (англ.) . — Berlin: Springer, 1977. — Vol. 627. — P. 241—276. — (Lecture Notes in Math.).
• Langlands, Robert (1967),
• Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", , Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 18—61, doi : , ISBN 978-3-540-05284-5 , MR
• Martinet, J. (1977), "Character theory and Artin L-functions", in (ed.), Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 , Academic Press, pp. 1—87, ISBN 0-12-268960-7 , Zbl
• Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000), Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.), (PDF) , Birkhauser Basel, pp. 301—314, doi : , ISBN 978-3-0348-7023-8 {{ citation }} : Неизвестный параметр |book-title= игнорируется ( справка )

Внешние ссылки

• Perlis, R. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4