Чирп-алгоритм ( алгоритм Блюстейна ) — алгоритм вычисления быстрого преобразования Фурье , заключающийся в сведении вычисления дискретного преобразования Фурье к вычислению свёртки .

Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , ${\displaystyle \omega =e^{-{\frac {2\pi i}{n}}}}$ , ${\displaystyle \beta =\omega ^{-{\frac {1}{2}}}}$ формула алгоритма выводится из формулы для дискретного преобразования Фурье сигнала ${\displaystyle x}$ к сигналу ${\displaystyle X}$ следующим образом :

${\displaystyle X(k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}x(j)\omega ^{kj}=\sum \limits _{j=0}^{n-1}x(j)\beta ^{-2kj}=\beta ^{-k^{2}}\sum \limits _{j=0}^{n-1}\beta ^{(j-k)^{2}}{\bigg (}\beta ^{-j^{2}}x(j){\bigg )},\;k=0,\ldots ,n-1}$ .

С использованием обозначений ${\displaystyle a(j)=x(j)\beta ^{-j^{2}}}$ , ${\displaystyle b(j)=\beta ^{j^{2}}}$ можно переписать эту формулу в более компактном виде:

${\displaystyle X(k)=b^{*}(k)\left(a*b\right),\;k=0,\ldots ,n-1}$ .

Здесь верхний индекс ${\displaystyle ^{*}}$ означает комплексное сопряжение , а символ ${\displaystyle *}$ — свёртку. Величины ${\displaystyle b(j)}$ называются чирпом ( англ. chirp ).

Алгоритм содержит ${\displaystyle n}$ -точечную свёртку, вычисление которой требует ${\displaystyle O(n^{2})}$ операций, и ${\displaystyle 2n}$ дополнительных умножений, то есть полное число операций имеет порядок ${\displaystyle O(n^{2})}$ , поэтому алгоритм Блюстайна асимптотически не эффективнее прямого вычисления преобразования Фурье. Однако в некоторых приложениях он допускает более простую аппаратурную реализацию. Более того, прямое вычисление свёртки можно заменить быстрыми алгоритмами .

Примечания

Литература

• Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (рус.) . — М. : Мир , 1989. — 448 с.