Четвёртая степень числа ( ${\displaystyle x^{4}}$ ) — число, равное произведению четырёх одинаковых чисел .

Четвёртая степень числа нередко называется его биквадратом , от др.-греч. , ( бис ), «дважды», поскольку она представляет собой произведение двух квадратов , а также квадрат квадрата:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}=\left(x^{2}\right)^{2}}$

Свойства

Четвёртая степень вещественного числа , как и квадрат числа, всегда принимает неотрицательные значения .

Операцией, обратной по отношению к возведению в четвёртую степень является извлечение корня четвёртой степени .

Уравнение четвёртой степени , в отличие от уравнения пятой степени , всегда можно решить, записав ответ в радикалах ( теорема Абеля , метод Феррари ).

Биквадратные числа

Определение

Четвёртую степень натуральных чисел часто называют биквадра́тными , или гиперкуби́ческими чи́слами (последний термин может применяться и к степеням выше четвёртой). Биквадратные числа — это класс фигурных чисел , представляющий четырёхмерные кубы ( тессеракты ). Биквадратные числа являются четырёхмерным обобщением плоских квадратных и пространственных кубических чисел .

Начало последовательности биквадратных чисел:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, … (последовательность в OEIS ).

Общая формула для n-го биквадратного числа ${\displaystyle BC_{n}}$ :

${\displaystyle BC_{n}=n^{4}}$

Из формулы бинома Ньютона :

${\displaystyle (n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1}$

легко вывести рекуррентную формулу :

${\displaystyle BC_{n+1}=BC_{n}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1}$

Свойства биквадратных чисел

Последней цифрой биквадратного числа может быть только 0 (фактически 0000), 1, 5 (фактически 0625) или 6.

Любое биквадратное число ${\displaystyle BC_{n}}$ равно сумме первых ${\displaystyle n}$ « ромбо-додекаэдральных чисел » вида ${\displaystyle (2n-1)(2n^{2}-2n+1)}$ .

Каждое натуральное число можно представить в виде суммы не более 19 биквадратных чисел . Указанный максимум (19) достигается для числа 79:

${\displaystyle 79=2^{4}+2^{4}+2^{4}+2^{4}+\underbrace {1+1\ldots +1} _{15{\text{ единиц}}}}$

Каждое целое число, большее 13792, может быть представлено как сумма не более чем 16 биквадратных чисел (см. проблему Варинга ).

Согласно Великой теореме Ферма , сумма двух биквадратных чисел не может быть биквадратным числом . Гипотеза Эйлера утверждала, что сумма трёх биквадратных чисел также не может быть биквадратным числом; в 1986 году Ноам Элкис нашёл первый контрпример, опровергающий это утверждение :

${\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}$

Примечания

Литература

• Деза Е., Деза М . Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .