Interested Article - Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера теорема планиметрии , связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера , который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был получен ранее в 1746 году .

Формулировка

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

где — радиус описанной, — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

где — стороны треугольника.

Замечания

  • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
    .
или
  • Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера
    .
    • Существует более сильная форма этого неравенства :с. 198 , а именно:
где — стороны треугольника.
  • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Доказательство

Пусть — центр описанной окружности треугольника , а — центр вписанной окружности. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги . Проведём луч и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как . Тогда будет диаметром описанной окружности. Из точки опустим перпендикуляр на Тогда Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

Можно заметить, что слева стоит степень точки относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство . По лемме о трезубце значит, достаточно доказать, что . Теперь заметим, что и то есть, требуемое равенство можно переписать в виде Перепишем его ещё немного: . Это равенство следует из подобия треугольников и . В самом деле, углы и у этих треугольников прямые, а углы и равны, потому что оба опираются на дугу (более того, отношение равно синусу угла ).

Вариации и обобщения

Для центра вневписанной окружности

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где — радиус одной из вневписанных окружностей, а — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности .

Для многоугольников

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О .
  • Для радиусов и соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
    ,
или эквивалентно,

См. также

Примечания

  1. Авксентьев, Е. А. от 14 августа 2016 на Wayback Machine
  2. [in английский] (1746), , Miscellanea Curiosa Mathematica , 4 : 117—124 . The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  3. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), , Forum Geometricorum , 12 : 197—209 от 28 октября 2019 на Wayback Machine .
  4. Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1) . — С. 58—61 .
  5. R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  6. Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1 . — С. 137–140. .
  7. Nicolas Fuss// от 17 февраля 2020 на Wayback Machine

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Теорема Эйлера о треугольнике