Пара топологических пространств — упорядоченная пара ${\displaystyle (X,A)}$ где ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, а ${\displaystyle A}$ — подпространство (с топологией подпространства ).

Отображение пар ${\displaystyle f\colon (X,A)\to (Y,B)}$ определяется как отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ такое, что ${\displaystyle f(A)\subset B}$ .

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ , для которых как раз требуется, чтобы ${\displaystyle Y}$ вкладывалось в ${\displaystyle X}$ . Для хороших пространств (например, если ${\displaystyle Y}$ — клеточный подкомплекс клеточного комплекса ${\displaystyle X}$ ) выполнено равенство ${\displaystyle H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H}}(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).}$

Свойства

• Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство ${\displaystyle X}$ в пару ${\displaystyle (X,\varnothing )}$ ,

Относительные гомологии

Если дана пара топологических пространств ${\displaystyle (X,Y)}$ , то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей ${\displaystyle C_{k}(X)/C_{k}(Y)}$ . Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ и называют гомологиями пары .

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары :

Вариации и обобщения

Родственным понятием является понятие тройки ${\displaystyle (X,A,B)}$ , где ${\displaystyle B\subseteq A\subseteq X}$ . Тройки используются в теории гомотопий . Часто для пространств с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ тройку записывают как ${\displaystyle (X,A,B,x_{0})}$ , где ${\displaystyle x_{0}\in B\subseteq A\subseteq X}$ .

Примечания

Литература

• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — 1971.
• М.Э. Казарян. . — МИАН, 2006. — (Лекционные курсы НОЦ). — ISBN 5-98419-013-3 .