Interested Article - Сложные проценты

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов , или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент . Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

Расчет

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна x ( 1 + a 100 ) n {\displaystyle x\cdot (1+{\frac {a}{100}})^{n}} , где x {\displaystyle x} — начальная сумма вложенных средств, a > 1 {\displaystyle a>-1} — годовая процентная ставка , n {\displaystyle n} — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в ( 1 + s 100 ) {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})} раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в ( 1 + s 100 ) {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})} раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в ( 1 + s 100 ) {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})} раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + s 100 ) 2 {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{2}} раз. За три года — в ( 1 + s 100 ) 3 {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{3}} раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + s 100 ) N {\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{N}} раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

x ( 1 + s 12 100 ) m {\displaystyle x\cdot (1+{\frac {s}{12\cdot 100}})^{m}}

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Пример

Хорошей иллюстрацией является « лепта вдовицы » из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + 0 , 05 ) 2 {\displaystyle (1+0,05)^{2}} раз. За три года — в ( 1 + 0 , 05 ) 3 {\displaystyle (1+0,05)^{3}} раз.

К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + 0 , 05 ) 2022 {\displaystyle (1+0,05)^{2022}} раз больше первоначальной. Величина ( 1 + 0 , 05 ) 2022 {\displaystyle (1+0,05)^{2022}} составляет 6 , 99 10 42 {\displaystyle 6,99\cdot 10^{42}} . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит 6 , 99 10 42 {\displaystyle 6,99\cdot 10^{42}} копеек, то есть около 7 тредециллионов рублей.

Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок» .

Точная формула для оплаты ежемесячно

Точная формула для ежемесячного платежа

C = P r a 1 1 ( 1 + r ) n {\displaystyle C={\frac {Pra}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}

с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.

Периодическое начисление

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

P ( t ) = P 0 ( 1 + r n ) n t {\displaystyle P(t)=P_{0}(1+{r \over n})^{nt}}

t = общее время в годах

n = число периодов наращения в год

г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

Непрерывное начисление

Пределом ( 1 + r n ) n t {\displaystyle (1+{r \over n})^{nt}} при n {\displaystyle n\rightarrow \infty } является e r t {\displaystyle e^{rt}} (см. E (число) ), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:

P ( t ) = P 0 e r t {\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}}

Мнения

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования .

Примечания

  1. (неопр.) . Дата обращения: 21 июля 2013. 18 сентября 2018 года.
  2. , с. 35.

Литература

Same as Сложные проценты