Interested Article - Квазиклассическое приближение
![](/images/006/786/6786145/1.jpg?rand=656106)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-07-06
- 1
Квазиклассическое приближение , также известное как метод ВКБ ( Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна ) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике , в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда , или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля , Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна , которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 году математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера . Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.
В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: т. н. « старая квантовая теория » изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.
Вывод
Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:
которое можно переписать в виде
мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ
Φ должна удовлетворять уравнению
где означает производную от по x . Разделим на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B :
Тогда амплитуда волновой функции , а фаза — . Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:
Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого , чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка , насколько это возможно.
С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде
Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить и получить
Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим
С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим и получим
Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим
Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.
Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.
Обозначим классическую точку поворота . Вблизи , можно разложить в ряд.
Для первого порядка получим
Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:
Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между и :
Что завершает построение глобального решения.
Литература
- Покровский В. Л. от 16 июня 2011 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
- от 15 марта 2012 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
- Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М. : Мир, 1967. — 166 с.
- Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 296 с.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-07-06
- 1