Interested Article - Нелинейное уравнение Шрёдингера

Нелине́йное, или куби́ческое, уравне́ние Шрёдингера ( НУШ ) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка , играющее важную роль в теории нелинейных волн , в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы .

Уравнение имеет вид:

где комплекснозначная функция .

Значение в физике

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью . Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме : с одной стороны, плазма является диспергирующей средой ; с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется , которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией : во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нулю в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

где r , s , U — постоянные, связанные соотношениями:

а функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

,

где . Периодические решения этого уравнения имеют форму кноидальных волн . Кроме того, имеется локализованное решение солитонного типа:

Таким образом, параметр определяет амплитуду волн , а параметр U — их скорость . Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решениями для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния .

Интегралы

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения . Примерами могут служить следующие интегралы:

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения .

Литература

  • Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М. : ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
  • Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
  • — статья из Физической энциклопедии

Примечания

  1. Дж. Уизем. . — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.
Источник —

Same as Нелинейное уравнение Шрёдингера