Формулы сокращённого умножения многочленов
— часто встречающиеся случаи умножения
многочленов
. Многие из них являются частным случаем
бинома Ньютона
. Изучаются в средней
школе
в курсе
алгебры
.
Формулы для квадратов
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
— квадрат суммы или разности двух выражений
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
— квадрат суммы трёх выражений
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле
:
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Доказательство
Математическое доказательство
закона простое. Применив
распределительный закон
к правой части формулы, получим:
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}
Из-за
коммутативности
умножения средние члены уничтожаются:
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
и остаётся
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство
неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом
коммутативном кольце
.
Наоборот, если это тождество выполняется в
кольце
R
для всех пар элементов
a
и
b
, то
R
коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}
.
Чтобы это было равно
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
, мы должны иметь
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
для всех пар
a
,
b
, поэтому
R
коммутативно.
Формулы для кубов
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+
3
a
b
2
±
b
3
{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
- куб суммы (разности) двух чисел
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
- сумма (разность) кубов
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
2
c
+
3
a
b
2
+
3
a
c
2
+
3
b
2
c
+
3
b
c
2
+
6
a
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}
- куб суммы
Формулы для четвёртой степени
(
a
±
b
)
4
=
a
4
±
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
±
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
a
4
−
b
4
=
(
a
±
b
)
(
a
3
∓
a
2
b
+
a
b
2
∓
b
3
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a\pm b)(a^{3}\mp a^{2}b+ab^{2}\mp b^{3})}
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
a
4
+
b
4
=
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}
Формулы для пятой степени
(
a
±
b
)
5
=
a
5
±
5
a
4
b
+
10
a
3
b
2
±
10
a
2
b
3
+
5
a
b
4
±
b
5
{\displaystyle (a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}}
a
5
±
b
5
=
(
a
±
b
)
(
a
4
∓
a
3
b
+
a
2
b
2
∓
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{4}\mp a^{3}b+a^{2}b^{2}\mp ab^{3}+b^{4})}
a
5
±
b
5
=
(
a
±
b
)
(
a
2
+
∓
1
+
5
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
∓
1
−
5
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}+{\frac {\mp 1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {\mp 1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)}
Формулы для шестой степени
(
a
±
b
)
6
=
a
6
±
6
a
5
b
+
15
a
4
b
2
±
20
a
3
b
3
+
15
a
2
b
4
±
6
a
b
5
+
b
6
{\displaystyle (a\pm b)^{6}=a^{6}\pm 6a^{5}b+15a^{4}b^{2}\pm 20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}\pm 6ab^{5}+b^{6}}
a
6
−
b
6
=
(
a
±
b
)
(
a
5
∓
a
4
b
+
a
3
b
2
∓
a
2
b
3
+
a
b
4
∓
b
5
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a\pm b)(a^{5}\mp a^{4}b+a^{3}b^{2}\mp a^{2}b^{3}+ab^{4}\mp b^{5})}
a
6
−
b
6
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})}
a
6
+
b
6
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
−
3
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
3
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})}
Формулы для седьмой степени
(
a
±
b
)
7
=
a
7
±
7
a
6
b
+
21
a
5
b
2
±
35
a
4
b
3
+
35
a
3
b
4
±
21
a
2
b
5
+
7
a
b
6
±
b
7
{\displaystyle (a\pm b)^{7}=a^{7}\pm 7a^{6}b+21a^{5}b^{2}\pm 35a^{4}b^{3}+35a^{3}b^{4}\pm 21a^{2}b^{5}+7ab^{6}\pm b^{7}}
a
7
±
b
7
=
(
a
±
b
)
(
a
6
∓
a
5
b
+
a
4
b
2
∓
a
3
b
3
+
a
2
b
4
∓
a
b
5
+
b
6
)
{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{6}\mp a^{5}b+a^{4}b^{2}\mp a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}\mp ab^{5}+b^{6})}
a
7
±
b
7
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
(
2
cos
π
7
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
2
π
7
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
3
π
7
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{7}})ab+b^{2})}
Формулы для восьмой степени
(
a
±
b
)
8
=
a
8
±
8
a
7
b
+
28
a
6
b
2
±
56
a
5
b
3
+
70
a
4
b
4
±
56
a
3
b
5
+
28
a
2
b
6
±
8
a
b
7
+
b
8
{\displaystyle (a\pm b)^{8}=a^{8}\pm 8a^{7}b+28a^{6}b^{2}\pm 56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}\pm 56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}\pm 8ab^{7}+b^{8}}
a
8
−
b
8
=
(
a
±
b
)
(
a
7
∓
a
6
b
+
a
5
b
2
∓
a
4
b
3
+
a
3
b
4
∓
a
2
b
5
+
a
b
6
∓
b
7
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a\pm b)(a^{7}\mp a^{6}b+a^{5}b^{2}\mp a^{4}b^{3}+a^{3}b^{4}\mp a^{2}b^{5}+ab^{6}\mp b^{7})}
a
8
−
b
8
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}
a
8
+
b
8
=
(
a
2
−
(
2
+
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
(
2
+
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
(
2
−
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
(
2
−
2
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})}
Формулы для девятой степени
(
a
±
b
)
9
=
a
9
±
9
a
8
b
+
36
a
7
b
2
±
84
a
6
b
3
+
126
a
5
b
4
±
126
a
4
b
5
+
84
a
3
b
6
±
36
a
2
b
7
+
9
a
b
8
±
b
9
{\displaystyle (a\pm b)^{9}=a^{9}\pm 9a^{8}b+36a^{7}b^{2}\pm 84a^{6}b^{3}+126a^{5}b^{4}\pm 126a^{4}b^{5}+84a^{3}b^{6}\pm 36a^{2}b^{7}+9ab^{8}\pm b^{9}}
a
9
±
b
9
=
(
a
±
b
)
(
a
8
∓
a
7
b
+
a
6
b
2
∓
a
5
b
3
+
a
4
b
4
∓
a
3
b
5
+
a
2
b
6
∓
a
b
7
+
b
8
)
{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{8}\mp a^{7}b+a^{6}b^{2}\mp a^{5}b^{3}+a^{4}b^{4}\mp a^{3}b^{5}+a^{2}b^{6}\mp ab^{7}+b^{8})}
a
9
±
b
9
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
π
9
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
2
π
9
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
4
π
9
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {4\pi }{9}})ab+b^{2})}
Формулы для
n
-й степени
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
.
.
.
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
, где
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
a
n
−
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
.
.
.
−
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
−
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}-b^{n-1})}
, где
n
{\displaystyle n}
— чётное число
a
n
+
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
.
.
.
+
a
2
b
n
−
3
−
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}
, где
n
{\displaystyle n}
— нечётное число
В комплексных числах
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
+
∓
1
+
3
i
2
b
)
(
a
+
∓
1
−
3
i
2
b
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)}
a
4
−
b
4
=
(
a
+
b
)
(
a
+
i
b
)
(
a
−
b
)
(
a
−
i
b
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}
a
4
+
b
4
=
(
a
+
1
+
i
2
b
)
(
a
+
−
1
+
i
2
b
)
(
a
+
−
1
−
i
2
b
)
(
a
+
1
−
i
2
b
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)}
Для произвольной чётной степени:
a
n
±
b
n
=
∏
(
a
+
∓
1
n
b
)
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}
, где
∓
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}
пробегает все
n
возможных значений
Для произвольной нечётной степени:
a
n
±
b
n
=
∏
(
a
+
±
1
n
b
)
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}
, где
±
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}
пробегает все
n
возможных значений
Некоторые свойства формул
(
a
−
b
)
2
n
=
(
b
−
a
)
2
n
{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}
, где
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
(
a
−
b
)
2
n
+
1
=
−
(
b
−
a
)
2
n
+
1
{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}
, где
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
См. также
Примечания
(рус.)
.
Математика для всех
. Дата обращения: 17 декабря 2022.
17 декабря 2022 года.
Литература
М. Я. Выгодский.
Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.
keira
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}](/images/006/788/6788828/44.jpg?rand=722093)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}](/images/006/788/6788828/45.jpg?rand=468241)
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}](/images/006/788/6788828/46.jpg?rand=809392)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}](/images/006/788/6788828/47.jpg?rand=47805)
