Сначала докажем, что если произведение многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$ , причём ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты, то ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$ .

1. Известно, что многочлены ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ , что

${\displaystyle f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.}$

2. Умножим это равенство на ${\displaystyle g(x)}$ :

${\displaystyle [f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).}$

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на ${\displaystyle \varphi (x)}$ , следовательно, ${\displaystyle g(x)}$ также делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$ .

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя .

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

то есть

${\displaystyle f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).}$

то:

• из взаимной простоты ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следует, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ делится на ${\displaystyle f(x)}$ ;
• из взаимной простоты ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ следует, что ${\displaystyle f(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$ .

В итоге получаем, что ${\displaystyle f(x)=c\varphi (x).}$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

${\displaystyle c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),}$

или

${\displaystyle g(x)=c\psi (x).}$

Итак, получили, что

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.}$

Докажем последнее утверждение .

1. Для любой рациональной дроби ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ , поделив числитель на знаменатель, получим:

${\displaystyle f(x)=g(x)q(x)+r(x),}$

причём степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x).}$ Поделим обе части равенства на ${\displaystyle g(x)}$ , получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}.}$

2. Докажем единственность этого представления.Если имеет место также следующее равенство:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

где также степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)(x)}$ , то произведём вычитание:

${\displaystyle q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.}$

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)}$ , а степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x)}$ , то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда ${\displaystyle q(x)-q'(x)=0}$ и

${\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.}$

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ где :

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,}$

${\displaystyle g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.}$

Решение. 1. Легко проверить, что

${\displaystyle g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),}$

причём ${\displaystyle x+2,}$ ${\displaystyle x-1,}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов . Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.}$

Осталось найти числа ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E.}$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=}$

${\displaystyle =A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +B(x+2)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +Dx(x+2)(x-1)^{2}+}$

${\displaystyle +E(x+2)(x-1)^{2}.}$

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E,}$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве ${\displaystyle x=-2,}$ получаем ${\displaystyle 45A=135,}$ откуда ${\displaystyle A=3.}$ Полагая ${\displaystyle x=1,}$ получаем ${\displaystyle 6B=6,}$ то есть ${\displaystyle B=1.}$ Полагая независимо ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=-1,}$ получаем систему

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.}$

Отсюда ${\displaystyle D=1.}$ Положим ${\displaystyle x=2,}$ получаем ${\displaystyle 20C+4E=-52.}$ Возникает система

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.}$

откуда ${\displaystyle C=-2,}$ ${\displaystyle E=-3.}$ Таким образом,

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.}$