Надгра́фик ( эпиграф ) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Формально, для функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ надграфиком называется множество :

${\displaystyle \operatorname {epi} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\geqslant f(x){\bigr \}}}$ .

Надграфик включает в себя график функции ${\displaystyle f}$ , то есть ${\displaystyle \operatorname {epi} f\supset \Gamma ,}$ где:

${\displaystyle \Gamma \equiv \left\{{\bigl (}x,f(x){\bigr )}\in M\times \mathbb {R} \mid x\in M\right\}}$

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой .

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу .

понятие — подграфик ( гипограф ), для функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ определяется как множество точек, лежащих под графиком:

${\displaystyle \operatorname {hyp} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\leqslant f(x){\bigr \}}}$ .

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — Новосибирск: Издательство Института математики, 2000. — 336 с.
• Rockafellar, R. Tyrrell. Variational Analysis / R. Tyrrell Rockafellar, Roger J.-B. Wets. — Springer Science & Business Media , 26 June 2009. — Vol. 317. — ISBN 9783642024313 .
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis , Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4 .