Логарифмическая система счисления (LNS) — это арифметическая система, иногда используемая для представления вещественных чисел в компьютере и в цифровых аппаратных средствах , особенно в цифровой обработке сигналов .

Теория

В LNS число ${\displaystyle X}$ представлено логарифмом следующим образом:

${\displaystyle X\rightarrow \{s,x=\log _{b}(|X|)\},}$

где ${\displaystyle x}$ - его абсолютное значение; ${\displaystyle s}$ обозначающий знак ${\displaystyle X}$ ( ${\displaystyle s=0}$ если ${\displaystyle X>0}$ и ${\displaystyle s=1}$ если ${\displaystyle X<0}$ ).

Эта формулировка упрощает операции умножения, деления, возведения в степень, так как они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению, соответственно. С другой стороны, операции сложения и вычитания в такой форме записи оказываются более сложными, и они рассчитываются по формулам:

${\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)}$

${\displaystyle \log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),}$

где ${\displaystyle z=y-x}$ разница между логарифмами операндов, функция «суммы» ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$ , а функция «разницы» ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)}$ . Эти функции ${\displaystyle s_{b}(z)}$ и ${\displaystyle d_{b}(z)}$ , изображенные на рисунке справа, также известны как логарифмы Гаусса. Упрощение умножения, деления, взятия корня и возведения в степень компенсируется сложностью оценки этих функций для сложения и вычитания. Эта добавленная стоимость оценки может быть незначительна при использовании LNS в первую очередь для повышения точности операций с плавающей запятой.

История

Логарифмическая система счисления была независимо изобретена и опубликована по крайней мере три раза, в качестве альтернативы системам счисления с фиксированной и с плавающей запятой .

Кингсбери и Рейнер представили «логарифмическую арифметику» для цифровой обработки сигналов в 1971 году.

Аналогичная LNS была описана в 1975 году Шварцлендером и Алехопоулосом.

Ли и Эдгар описал подобную систему счисления, которую они назвали «Фокус», в 1977 году

Математические основы для сложения и вычитания в LNS восходят к Карлу Фридриху Гауссу и Z. Leonelli .

Применение

LNS была использована в (GRAPE) — специальном суперкомпьютере , который выиграл Премию Гордона Белла в 1999 году.

LNS обычно используется как часть скрытых марковских моделей , таких как Алгоритм Витерби , для распознавания речи и секвенирования ДНК .

Значительные усилия в исследовании применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы системам с плавающей запятой общего назначения для обработки одинарной точности вещественных чисел описаны в контексте « Европейского логарифмического микропроцессора » (ELM). Представлен прототип 32-разрядного процессора , функционирующего в LNS. Дальнейшее совершенствование LNS, основанной на архитектуре ELM вновь показало значительно лучшую скорость вычислений и большую точность, нежели вычисления с плавающей запятой.

LNS иногда используется в FPGA — приложениях, где большинство арифметических операций это умножение и деление .

Примечания

Ссылки