В математике суперлогари́фм — это одна из двух обратных функций тетрации .

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции ( корень и логарифм ), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм . Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при ${\displaystyle N>2}$ .

Определения

Суперлогарифм числа ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ , аналогично логарифму, определяется, как показатель тетрации основания ${\displaystyle a}$ , при котором получается число ${\displaystyle b}$ .

Обозначение: ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b}$ , произносится как «суперлогарифм ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ ».

Суперлогарифм как решение уравнения

Для положительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ суперлогарифм можно определить как одно из существующих решений уравнения:

${\displaystyle {}^{x}a=b}$ ; притом исходя из открытых теоретических проблем, суперлогарифм точно может принимать пока только чётные и нечётные значения (то есть они могут быть определены и вычислены). Для нечётного суперлогарифма числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ могут принимать любые положительные значения, — это объясняется тем, что функции вида ${\displaystyle f(x)={}^{n}x,{\frac {n-1}{2}}\in \mathbb {N} }$ при ${\displaystyle x>0}$ всюду возрастают (из-за отсутствия положительных точек экстремумов производных ).

Для чётного же логарифма есть некоторые ограничения. Так, например, для ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b=2}$ не существует такого ${\displaystyle a}$ , чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle b<e^{-{\frac {1}{e}}}}$ (потому что число ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}}$ является минимальным значением тетрации ${\displaystyle {}^{2}b,b>0}$ ). Однако, для ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b=4}$ ограничение будет уже другим (и т. д.).

Итерированный логарифм

Положительный целочисленный суперлогарифм с точностью равен итерированному логарифму, например: ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{2}16=\log _{2}^{*}{16}=1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{16}}=1+\log _{2}^{*}{4}=1+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{4}}=2+\log _{2}^{*}{2}=2+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{2}}=3+\log _{2}^{*}{1}=3+0=3}$

И действительно, ${\displaystyle {}^{3}2=2^{2^{2}}=2^{4}=16.}$

Однако, для отрицательных и/или нецелых значений суперлогарифма такое определение не подходит и, таким образом, является недостаточно полным.

Суперлогарифм как функция Абеля

Суперлогарифмическая функция — это абелева функция, т.к. она является единственным решением функционального уравнения Абеля для ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ :

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x},{\text{ }}\alpha (x)={\text{slog}}_{a}x.}$

Таким образом, суперлогарифм может быть неявно определён через следующий алгоритм:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)={\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(1)=0\\\operatorname {slog} _{b}(b^{z})=\operatorname {slog} _{b}(z)+1\end{cases}}}$

Например, ${\displaystyle \operatorname {slog} _{2}{65536}=\operatorname {slog} _{2}{2^{16}}=\operatorname {slog} _{2}{16}+1=\operatorname {slog} _{2}{2^{4}}+1=\operatorname {slog} _{2}{4}+2=\operatorname {slog} _{2}{2^{2}}+2=\operatorname {slog} _{2}{2}+3=4,}$ проверка:

${\displaystyle {}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536.}$

Это определение также накладывает ограничение на положительность и целочисленность суперлогарифма. Для распространения значений суперлогарифма на бо́льшие множества действительных чисел используются несколько приближённых подходов, обычно включающих в себя третье дополнительное требование к предыдущим двум, которое варьируется от автора к автору (см. подробно далее):

• Метод линейной аппроксимации Рубстова и Ромерио;
• Квадратичная аппроксимация Эндрю Роббинса;
• Регулярная абелева функция (Джордж Секереш);
• Метод итерированной функции Питера Уокера;
• Натуральный матричный подход Питера Уокера (затем обобщённый Эндрю Роббинсом).

Приближения

Метод линейной аппроксимации

Первыми авторами, нашедшими это приближение, были и Джиованни Ф. Ромерио ( итал. Giovanni F. Romerio ) (хотя конкретно данной формулы нет в , она может быть выведена из их соответствующего алгоритма для вычислительного программного обеспечения — гиперкалькулятора ). С другой стороны, линейная аппроксимация тетрации была найдена и раньше, например, Иоаннисом Галидакисом ( греч. Ιωάννης Γαλιδάκης ) (натуральная обратная линейная аппроксимация). Приближённое вычисление суперлогарифма данным методом сводится к выполнению следующего алгоритма:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z\leqslant 0\\-1+z,{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatorname {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\text{ if }}1<z\end{cases}}}$

Это кусочно-определённая непрерывная для всех действительных ${\displaystyle z}$ функция (подобно итерированному логарифму) с линейной "критической частью".

Такие авторы, как Холмс, признают, что суперлогарифм будет очень полезен для следующей эволюции компьютерной арифметики с плавающей запятой , но для этой цели функция не обязательно должна быть бесконечно дифференцируемой . Таким образом, для представления больших чисел подход линейной аппроксимации обеспечивает достаточную непрерывность, чтобы все вещественные числа могли быть представлены в суперлогарифмической шкале.

Метод квадратичной аппроксимации

Первым автором, данное приближение, был Эндрю Роббинс ( англ. Andrew Robbins ). Этот метод предполагает следующий алгоритм :

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z\leqslant 0\\-1+{\frac {2\ln {b}}{1+\ln {b}}}z-{\frac {1-\ln {b}}{1+\ln {b}}}z^{2},{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatorname {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\text{ if }}1<z\end{cases}}}$
Это кусочно-определённая непрерывная дифференцируемая для всех действительных ${\displaystyle z}$ функция с квадратичной "критической частью". Данная аппроксимация обобщения суперлогарифма позволяет выполнять основные операции исчисления суперлогарифма без большого количества подготовительных заблаговременных решений и вычислительных издержек.

Обобщения

Оба описанных выше метода являются частными случаями сложного натурального матричного подхода, найденного сперва Питером Уокером ( англ. Peter Walker ), а затем обобщённого Эндрю Роббинсом. В частности, вторая строка в этих системах является произведением полинома степени ${\displaystyle n}$ от ${\displaystyle z}$ на детерминант некоторой матрицы порядка ${\displaystyle n}$ (см. примеры матриц в ), которая описывается сложной общей формулой с использованием символа Кронекера . Таким образом можно получить кубическое и т. д. приближения, каждое из которых с возрастанием ${\displaystyle n}$ будет точнее предыдущего. Первая и последняя строки в системах приближений не меняются и основываются на леммах , так же описанных автором с приведением доказательств . Существуют также другие методы аппроксимации, но они все слишком громоздки и сложны для практического применения.

Свойства

Основное суперлогарифмическое тождество

Из определения суперлогарифма следует основное суперлогарифмическое тождество:

${\displaystyle {}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a=b}$

В частности, если ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}c}$ , то ${\displaystyle b=c.}$ Пусть ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b=x,}$ а ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}c=y,}$ тогда доказательство равенства сводится к следующему тождеству:

${\displaystyle {}^{x}a={}^{y}a}$

${\displaystyle \underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{x}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}\Longleftrightarrow a=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow a^{1}=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow 1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}}$

${\displaystyle 1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}=\underbrace {\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{y-1}{\Bigr )}=\ldots =\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{y-x}\Longleftrightarrow {}^{y-x}a=1,}$ отсюда следуют два варианта:

• либо ${\displaystyle {}^{y-x}a={}^{0}a,}$ тогда ${\displaystyle y-x=0}$ и ${\displaystyle y=x;}$
• либо ${\displaystyle {}^{y-x}a=a^{0},}$ тогда ${\displaystyle a^{{}^{y-x-1}a}=a^{0},}$ откуда ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}0=y-x-1,}$ но т. к. ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}0=-1}$ (см. далее), то ${\displaystyle y-x-1=-1}$ и ${\displaystyle y-x=0,}$ что уже было.

Суперлогарифм единицы, нуля и числа, равного основанию

Принимается (определяется), что ${\displaystyle {}^{0}a=1,}$ на основе чего и выводятся все следующие свойства суперлогарифма:

• ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}1=0,}$ доказательство:

${\displaystyle a=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow {}^{0}a=\log _{a}a=1\Longleftrightarrow \operatorname {slog} _{a}1=0}$

• в отличие от логарифма, суперлогарифм нуля существует и определён: ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}0=-1,}$ что может быть доказано так:

${\displaystyle a=a^{{}^{0}a}=a^{a^{{}^{-1}a}}\Longleftrightarrow {}^{-1}a=\log _{a}\log _{a}a=\log _{a}1=0\Longleftrightarrow \operatorname {slog} _{a}0=-1}$

• ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}a=1;}$ для доказательства примем, что ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}a=x:}$

${\displaystyle {}^{x}a=a\Longleftrightarrow a^{{}^{x-1}a}=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow x-1=0,}$ откуда ${\displaystyle x=1.}$

Другие известные свойства

Остальные свойства суперлогарифма определены для положительных ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (но не для любых):

• ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1}$ , — довольно очевидное свойство:

${\displaystyle a^{b}=a^{{}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a}={}^{\,\mathrm {slog} _{a}b+1}a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1.}$ Данное тождество можно обобщить для любого целого ${\displaystyle n>0}$ :

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a}} _{n-1}(b)+n}$

• ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1,}$ что, опять же, легко выводится на тех же основаниях:

${\displaystyle b=a^{\log _{a}b}\Longleftrightarrow b=a^{\left({}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)}a\right)}\Longleftrightarrow b={}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1}a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1=\,\mathrm {slog} _{a}b.}$ Обобщённо для любого целого ${\displaystyle n>0}$ :

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}(b)=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a}} _{n}(b)+n}$

• В общем случае, ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}(bc)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b+\,\mathrm {slog} _{a}c;\,\mathrm {slog} _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b-\,\mathrm {slog} _{a}c;\,\mathrm {slog} _{x}({}^{z}y)\neq z\times \,\mathrm {slog} _{x}y.}$
• Чётные суперлогарифмы одинаковых чисел, но с разными основаниями, могут быть равны. Простой пример: ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=\,\mathrm {slog} _{\frac {1}{4}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2.}$
• ${\displaystyle {\text{slog}}_{a}b>-2,{\text{ }}a,b>0,}$ — основано на рекурсивном свойстве тетрации:

${\displaystyle a=a^{a^{({}^{-1}a)}}=a^{a^{a^{({}^{-2}a)}}},}$ откуда следует, что ${\displaystyle -2={\text{slog}}_{a}\log _{a}\log _{a}\log _{a}a\Longleftrightarrow -2={\text{slog}}_{a}\log _{a}0,}$ что является случаем неопределённости нуля.

• Нецелые показатели тетрации (суперлогарифмы), являющиеся суммой целого числа и обратной дроби , можно определить исходя из свойств тетрации:

${\displaystyle {}^{\frac {m}{n}}a=\exp _{a}^{m}({}^{\frac {1}{n}}a),{\text{ if }}m=(kn+1),{\text{ }}k,n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}n\neq 0.}$ Например: ${\displaystyle {}^{2,5}a={}^{{\bigl (}2+{\frac {1}{2}}{\bigr )}}a=\exp _{a}^{2}({}^{\frac {1}{2}}a)=a^{a^{{\bigl (}{}^{\frac {1}{2}}a{\bigr )}}}.}$

Замена основания

Для суперлогарифма формула с заменой оснований не действует: ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b\neq {\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{b}a}}.}$

Для доказательство используем следующее утверждение: ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{x}a=\,\mathrm {slog} _{y}a\Longleftrightarrow {}^{\,\mathrm {slog} _{x}a}x={}^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x\Longleftrightarrow a={}^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x.}$ Выразим ${\displaystyle x:}$

${\displaystyle x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a,}$ если тождество с заменой оснований было бы верным, мы б получили в результате, что ${\displaystyle x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a={}^{\,\mathrm {slog} _{a}y}a}$ и ${\displaystyle y=x,}$ однако, как уже отмечалось раннее, на практике существует бесконечное множество равных между собой чётных суперлогарифмов одного и того же числа ${\displaystyle a,}$ но с разными основаниями ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ (см. пример выше).

Более общая формула, аналогичная замене оснований логарифма, основывается на свойстве логарифма вынесения показателя степени числа:

${\displaystyle \log _{a}b=\log _{a}(c^{\log _{c}b})=\log _{c}b\times \log _{a}c\Longleftrightarrow \log _{c}b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}c}}.}$ Для суперлогарифма такая формула так же будет неверна, поскольку ни показатель тетрации (см. свойства), ни показатель степени ( ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{x}y^{z}\neq z\times \,\mathrm {slog} _{x}y}$ ) в качестве множителя выносить нельзя(!).

Неравенства

Значение суперлогарифма какого-либо числа, во-первых, существует не всегда (см. выше), а во-вторых, чётко определено только в случае, когда и основание, и число лежат по одну сторону от единицы (т. е. ${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{a}b>0}$ при ${\displaystyle a,b\geqslant 1,}$ либо при ${\displaystyle a,b\leqslant 1}$ ). Если же эти неравенства нарушаются, то, скорее всего, суперлогарифм примет отрицательные значения (только до ${\displaystyle -2}$ ).

Неравенства для положительных чисел можно суперлогарифмировать (но не всегда). При этом, если основание суперлогарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется (например, ${\displaystyle 4<16\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{2}4<\,\mathrm {slog} _{2}16,}$ т. к. ${\displaystyle 2<3}$ ), а если основание меньше единицы, знак неравенства, скорее всего, изменится на противоположный.

Суперлогарифмическая функция

Основные характеристики

Если рассматривать суперлогарифмируемое число как переменную, мы получим, суперлогарифмическую функцию ${\displaystyle y={\text{slog}}_{a}x}$ или ${\displaystyle y={\text{sexp}}_{a}^{-1}(x)}$ ( обратная функция к суперэкспоненте). Она определена при ${\displaystyle a,x>0,}$ но не для всех ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x,}$ область значений — пока только целые неотрицательные числа.

Для основания ${\displaystyle x\in [1/e;+\infty \}}$ натуральный суперлогарифм (и обратный к нему) ${\displaystyle {\text{slog}}_{x}y=n,{\text{ }}n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\Bigl (}{\text{slog}}_{x}y={\frac {1}{n}}{\Bigr )}}$ однозначен, т. к. функция ${\displaystyle y={}^{n}x}$ (или ${\displaystyle y={}^{\frac {1}{n}}x}$ ) на данном промежутке строго возрастает (убывает) . Более того, существует предел при стремлении суперлогарифма к нулю : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\bigl (}{}^{\frac {1}{n}}x{\bigr )}=x^{\frac {1}{x}},{\text{ }}n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}x\in {\Bigl [}{\frac {1}{e}};e{\Bigr ]}.}$

Предположительно, функция ${\displaystyle y={\text{slog}}_{a}(x)}$ является аналитической , по крайней мере, для некоторых значений . Поведение функции в разрезе комплексной плоскости для случая ${\displaystyle a=e}$ представлено на рисунке (значения самой функции аппроксимизированны).

Из определения следует, что суперлогарифмическая зависимость есть обратная функция для функции ${\displaystyle y={}^{x}a,}$ поэтому, если существование и единственность аналитического расширения тетрации обеспечивается условиями асимптотических подходов к фиксированным точкам ${\displaystyle z_{0}\approx 0,318+1,337i}$ и ${\displaystyle z_{1}\approx 0,318-1,337i}$ в верхней и нижней частях комплексной плоскости, то обратная функция тоже должна быть уникальной. Такая функция вещественна на реальной оси . Она имеет два экстремума в точках ${\displaystyle z=z_{0}}$ и ${\displaystyle z=z_{1}.}$ Она приближается к своему предельному значению ${\displaystyle -2}$ в окрестности отрицательной части реальной оси (вся полоса между разрезами показана розовыми линиями на рисунке) и медленно растёт вдоль положительного направления реальной оси. Поскольку производная на реальной оси положительна, мнимая часть ${\displaystyle f(z)={\text{slog}}_{e}z}$ остаётся положительной чуть выше реальной оси и отрицательной чуть ниже реальной оси.

Производные тетрации с показателями ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3:}$ ${\displaystyle ({}^{2}x)={}^{2}x(\ln(x)+1)}$ и ${\displaystyle ({}^{3}x)={}^{3}x{\biggl (}{}^{2}x(\ln(x)+1)\ln(x)+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\biggr )}}$ соответственно. Дифференцирование можно продолжить и далее для любого натурального ${\displaystyle n\geqslant 2}$ по общей формуле: ${\displaystyle ({}^{n}x)'={}^{n}x{\biggl (}{}^{n-1}x{\biggl (}{}^{n-2}x{\bigl (}...{}^{2}x(\ln {x}+1)\ln {x}+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\bigr )}\ln {x}+{\frac {{}^{3}x}{x}}{\biggr )}\ln {x}+...+{\frac {{}^{n-1}x}{x}}{\biggr )}={\frac {1}{x}}\cdot {{}^{n}x}\cdot {{}^{n-1}x}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n-2}\left({(\ln {x})}^{i}\cdot \prod _{j=1}^{n-2}\left({}^{j}x\right)\right)+{(\ln {x})}^{n-1}\cdot \prod _{i=1}^{n-1}({}^{i}x)+1\right)}$

По правилам обратной производной , для её получения необходимо выразить переменную из функции суперкорня второй степени ( ${\displaystyle x^{x}}$ ), которая уже неэлементарна , т.к. выражается через неэлементарную W-функцию Ламберта . В общем случае, производная суперлогарифма, как обратной функции к ${\displaystyle y={}^{x}a,}$ вероятно, также будет неэлементарной, наряду с интегралом суперлогарифма.

Таким образом, суперлогарифмическую функцию однозначно можно отнести пока что только к неэлементарным функциям.

Практические приложения

Решение функционального уравнения ${\displaystyle f(f(x))=a^{x}}$

Суперлогарифм по основанию ${\displaystyle a}$ используется в решении функционального уравнения ${\displaystyle f(f(x))=a^{x}}$ :

${\displaystyle f(f(x))=a^{x}\Longrightarrow f(x)={}^{0,5+\operatorname {slog} _{a}x}a,}$ проверка:

${\displaystyle f(f(x))={}^{0,5+\operatorname {slog} _{a}{\bigl (}{{}^{0,5+\operatorname {slog} _{a}x}}a{\bigr )}}a={}^{0,5+0,5+\operatorname {slog} _{a}{x}}a={}^{1+\operatorname {slog} _{a}{x}}a=a^{{}^{\operatorname {slog} _{a}{x}}a}=a^{x}.}$

Теория графов

Рассмотрим ориентированные графы с ${\displaystyle N}$ узлами и такие, что ориентированный путь от узла ${\displaystyle i}$ до узла ${\displaystyle j}$ существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i>j}$ . Если длина всех таких путей не превышает ${\displaystyle k}$ рёбер, то минимально возможное общее число рёбер ограниченно асимптотически оценкой ${\displaystyle \Theta (f(N))}$ :

• ${\displaystyle \Theta (N^{2})}$ для ${\displaystyle k=1;}$
• ${\displaystyle \Theta (N^{2}\log _{a}N)}$ для ${\displaystyle k=2,{\text{ }}a>0;}$
• ${\displaystyle \Theta (N\log _{a}\log _{a}N)}$ для ${\displaystyle k=3,{\text{ }}a>0;}$
• ${\displaystyle \Theta (N\operatorname {slog} _{a}N)}$ для ${\displaystyle k=4}$ и ${\displaystyle k=5,}$ для ${\displaystyle a>0}$ (но не для любого);
• ${\displaystyle \Theta (N\underbrace {{\operatorname {slog} _{a}\operatorname {slog} _{a}}\ldots \operatorname {slog} _{a}} _{k-4}N)}$ для ${\displaystyle k>5}$ и ${\displaystyle a>0}$ (но не для любого).

Открытые проблемы

• Неизвестно, поддаются ли значения суперлогарифмов однозначному логическому (теоретическому) обобщению на иррациональные и/или отрицательные действительные (а также комплексные) числа, до сих пор не разработан ни один универсальный алгоритм (способ) вычисления суперлогарифмов .

Примечания

Ссылки

• .
• .
• Кузнецов Д. // Владикавказский математический журнал. — 2010.
• George Szekeres ,

• W. Neville Holmes . IEEE Computer Society Press, vol.30, no. 3, pp. 65–73, 1997.