Униве́рсум Гротенди́ка в математике — непустое множество ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ , такое что:

1. если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle y\in x}$ , то ${\displaystyle y\in {\mathcal {U}}}$ ;
2. если ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {U}}}$ , то ${\displaystyle \{x,y\}\in {\mathcal {U}}}$ ;
3. если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ , то ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in {\mathcal {U}}}$ ;
4. если ${\displaystyle (x_{i},i\in I)}$ — семейство элементов ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle I\in {\mathcal {U}}}$ , то ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}}$ .

Универсумы Гротендика используются в теории категорий в качестве альтернативы собственным классам . Идея универсумов принадлежит Александру Гротендику , который впервые описал их и применил в теории топосов на семинаре SGA .

Свойства

Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения:

• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ , то одноэлементное множество ${\displaystyle \{x\}}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ;
• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle y}$ — подмножество в ${\displaystyle x}$ , то ${\displaystyle y\in {\mathcal {U}}}$ ;
• если ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {U}}}$ , то упорядоченная пара ${\displaystyle (x,y)}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ;
• если ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {U}}}$ , то объединение ${\displaystyle x\cup y}$ и декартово произведение ${\displaystyle x\times y}$ принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ;
• если ${\displaystyle (x_{i},i\in I)}$ — семейство элементов ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle I\in {\mathcal {U}}}$ , то ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}}$ ;
• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ , то ${\displaystyle card(x)<card({\mathcal {U}})}$ (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).

Аксиома об универсумах

В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах:

• Для любого множества ${\displaystyle x}$ существует универсум ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ такой, что ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ .

Связанные определения

Пусть выбран некоторый универсум Гротендика ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ .

• Множество ${\displaystyle x}$ называется ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ - малым , если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ ;
• Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ - малой , если множества её объектов и морфизмов являются ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -малыми;
• Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется локально ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ - малой , если все её hom-множества являются ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -малыми.

В частности, категория ${\displaystyle {\mathcal {U}}-\mathbf {Set} }$ всех ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -малых множеств не является ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -малой, но является локально ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -малой.

Примечания