Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей . Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году . Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике .

История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики »:

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали ( 1908 ), С. Н. Бернштейн ( 1917 ), Р. Мизес ( 1919 и 1928 ), а также ( 1923 ) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры .

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теории множеств , меры, интегрирования , функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной). Эта система позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов (например, теории случайных процессов ) и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра . Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы , которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах , не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом , так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом , так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятия случайного события и его вероятности .

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — множество элементов ${\displaystyle \omega }$ , которые называются элементарными событиями, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — множество подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а ${\displaystyle \Omega }$ — пространством элементарных событий.

• Аксиома I ( алгебра событий ) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является алгеброй событий.
• Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число ${\displaystyle \mathbf {P} (x)}$ , которое называется вероятностью события ${\displaystyle x}$ .
• Аксиома III (нормировка вероятности) . ${\displaystyle \mathbf {P} (\Omega )=1}$ .
• Аксиома IV ( аддитивность вероятности) . Если события ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не пересекаются, то

${\displaystyle \mathbf {P} (x+y)=\mathbf {P} (x)+\mathbf {P} (y)}$ . (Здесь используется обозначение ${\displaystyle x+y=x\cup y}$ для не пересекающихся множеств) .

Совокупность объектов ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ , удовлетворяющая аксиомам I—IV , называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей ).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: ${\displaystyle \Omega }$ состоит из единственного элемента ${\displaystyle \omega }$ , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — из ${\displaystyle \Omega }$ и множества невозможных событий (пустого множества) ${\displaystyle \varnothing }$ , при этом положено ${\displaystyle \mathbf {P} (\Omega )=1,\mathbf {P} (\varnothing )=0}$ . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Обычно можно предполагать, что система ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ рассматриваемых событий ${\displaystyle x,y,z,\ldots ,}$ которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество ${\displaystyle \Omega }$ ( аксиома I , а также первая часть аксиомы II — существование вероятности ). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число ${\displaystyle n}$ раз и если при этом через ${\displaystyle m}$ обозначено число наступления события ${\displaystyle x}$ , то отношение ${\displaystyle m/n}$ будет мало отличаться от ${\displaystyle \mathbf {P} (x)}$ . Далее ясно, что ${\displaystyle 0\leqslant m/n\leqslant 1}$ , так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события ${\displaystyle \Omega }$ всегда ${\displaystyle m=n}$ , благодаря чему естественно положить ${\displaystyle \mathbf {P} (\Omega )=1}$ ( аксиома III ). Если, наконец, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ несовместны между собой (то есть события ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не пересекаются как подмножества ${\displaystyle \Omega }$ ), то ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ , где ${\displaystyle m,m_{1},m_{2}}$ обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события ${\displaystyle x+y,x,y}$ . Отсюда следует:

${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.}$

Следовательно, является уместным положить

${\displaystyle \mathbf {P} (x+y)=\mathbf {P} (x)+\mathbf {P} (y)}$ ( аксиома IV ).

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событий. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

• Аксиома V (непрерывности) . Для убывающей последовательности

${\displaystyle x_{1}\supseteq x_{2}\ldots \supseteq x_{n}\supseteq \ldots }$

событий из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ такой, что

${\displaystyle \bigcap _{n}x_{n}=\varnothing ,}$

имеет место равенство

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbf {P} (x_{n})=0.}$

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V . Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле ), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV . Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V . Система аксиом I—V является непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV .

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV) . При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле . Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V , что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ событий пространства элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы ${\displaystyle \sum _{n}x_{n}}$ событий ${\displaystyle x_{n}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют ${\displaystyle \sigma }$ -алгебрами событий ( сигма-алгебрами ). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbf {P} )}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ — алгебра, ${\displaystyle \mathbf {P} }$ — вероятностная мера на ней. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})}$ , содержащая ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ . Более того, справедлива

Теорема (о продолжении) . Определённую на ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0})}$ неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\cdot )}$ всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbf {P} )}$ может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

Вместе с тем множества из сигма-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события» , прямо не представимые в мире наблюдений. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»

Некоторые учёные ^{[ кто? ]} не согласны с тем, что Колмогоров сделал теорию вероятностей аксиоматической теорией . Их доводы ^{[ источник не указан 1479 дней ]} :

• Вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель . Например, так же невозможно аксиоматизировать понятие « мост », что не мешает рассчитывать мосты на прочность , строя математические модели, со свойствами похожими на настоящие мосты.
• Утверждают, что аксиоматика Колмогорова не вводит ни одного нового «базового понятия» ( неопределяемого , как точка или прямая ). А значит, она является лишь определением : « Вероятность — это такая ограниченная мера , что ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega )=1}$ ». При этом аксиоматику Колмогорова они называют «моделью Колмогорова». Иногда приводятся альтернативные модели теории вероятностей.

Иной взгляд: в модели Колмогорова вводятся понятие « событий » и алгебра операций над ними, которой изоморфна алгебра множеств . Но в квантовой логике иная алгебра событий, она подчиняется иной аксиоматике (и такие алгебры изучались И. М. Гельфандом ), а « квантовая вероятность » строится отлично от классической (см. напр ).

Примечания (литература)

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Алгебра событий
• — другое математическое обоснование теории вероятностей
• Квантовая вероятность — иная аксиоматизация