Interested Article - G-матрица перцептрона

G — матрица перцептрона — используется для анализа перцептронов. Имеет следующий вид:

$G={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&...&g_{1n}\\g_{21}&g_{22}&...&g_{2n}\\...&...&...&...\\g_{n1}&g_{n2}&...&g_{nn}\\\end{pmatrix}}$ ,

где $n$ — число стимулов (величина обучаемой выборки, число примеров для запоминания);

$g_{ij}$ — коэффициенты обобщения.

Смысл G — матрицы перцептрона

Коэффициент обобщения равен полному изменению веса ( $\sum \Delta w_{k}$ ) всех А-элементов, реагирующих на стимул $St_{i}$ , если на каждый А-элемент из множества, реагирующего на стимул $St_{j}$ , подается сигнал подкрепления $\eta$ .

Отсюда понятно, что коэффициент обобщения показывает относительное число А-элементов, реагирующих как на стимул $St_{i}$ , так и на стимул $St_{j}$ .

Для простых перцептронов G — матрица не изменяется со временем и является симметричной .

Связь А и G — матриц перцептрона

Связь между А и G — матрицами перцептрона выражается следующими соотношением: G = A×A ^T , где A ^T транспонированная матрица . Поэтому G матрица является положительно определенной, либо положительно полуопределенной. Так же ранг матрицы G равен рангу матрицы А.

Важными являются условия при которых G — матрица особенная, то есть матрица не имеющая обратной. Для квадратной матрицы это тогда, когда определитель матрицы равен нулю.

Рассмотрим несколько случаев:

Пусть матрица G = A×A ^T особенная, то есть |G| = 0; Рассмотрим |G| = |A×A ^T | = |A|×|A ^T | = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = 0 → |A| = 0 → матрица А особенная.
Пусть матрица G = A×A ^T не особенная, то есть |G| = ξ ≠ 0; Рассмотрим |G| = |A×A ^T | = |A|×|A ^T | = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = ξ≠0 → |A| ≠ 0 → матрица А не особенная.
Пусть |А|=0; Найдем |G|, |G|=|А|*|А ^T |=0*0=0.
Пусть |А|=ξ≠0; Найдем |G|,|G|=|А|*|А ^T |=ξ*ξ=ξ²≠0.