Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ -угольных чисел .

Примеры

Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма :

Число	Сумма не более трёх треугольных чисел	Сумма не более четырёх квадратных чисел	Сумма не более пяти пятиугольных чисел
1	1	${\displaystyle 1}$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	${\displaystyle 2^{2}}$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1}$	5
6	6	${\displaystyle 2^{2}+1+1}$	5 + 1
7	6 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1+1+1}$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	${\displaystyle 3^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	${\displaystyle 3^{2}+1}$	5 + 5
11	10 + 1	${\displaystyle 3^{2}+1+1}$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12
13	10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}}$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1}$	12 + 1 + 1
15	15	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1+1}$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	${\displaystyle 4^{2}}$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	${\displaystyle 4^{2}+1}$	12 + 5
18	15 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}}$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+1}$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}}$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+1}$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}}$	22
23	10 + 10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}+1}$	22 + 1
24	21 + 3	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12 + 12
25	15 + 10	${\displaystyle 5^{2}}$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	${\displaystyle 5^{2}+1}$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	${\displaystyle 5^{2}+1+1}$	22 + 5
28	28	${\displaystyle 5^{2}+1+1+1}$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}}$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}+1}$	12 + 12 + 5 + 1

История

Теорема названа именем Пьера Ферма , который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась . В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел . Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: « Эврика !» и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования . Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика» Полностью теорему доказал Коши в 1813 году. .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах .

Частные случаи

Наиболее интересны квадратный ${\displaystyle m=n^{2}}$ и треугольный ${\displaystyle m={\frac {n(n+1)}{2}}}$ случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для ${\displaystyle n=2}$ . А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.