Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2},}$

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$ .

Это пример экспоненциального диофантова уравнения . Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика .

История

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи : найти все числа Мерсенна ${\displaystyle (}$ то есть числа вида ${\displaystyle 2^{b}-1)}$ , которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид ${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}}$ ). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}}$

Выполнив замену ${\displaystyle n=b+3;\ x=2y+1,}$ получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу , что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

n	3	4	5	7	15	(последовательность в OEIS )
x	1	3	5	11	181	(последовательность в OEIS )

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик . В 1948 году другой норвежский математик, , опубликовал доказательство .

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля :

${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}$

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (последовательность в OEIS ).

Вариации и обобщения

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

${\displaystyle x^{2}+D=AB^{n},}$

где ${\displaystyle D,A,B}$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных ${\displaystyle x,n}$ . Зигель доказал:

• количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно ;
• при ${\displaystyle A=1,B=2}$ уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая ${\displaystyle D=7}$ ;
• существует бесконечно много значений ${\displaystyle D,}$ для которых существуют два решения , например, ${\displaystyle D=2^{m}-1}$ .

Пример : ${\displaystyle D=119,A=15,B=2.}$ Уравнение ${\displaystyle x^{2}+119=15\cdot 2^{n},}$ имеет шесть решений:

n	3	4	5	6	8	15
x	1	11	19	129	61	701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля :

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$

где ${\displaystyle D,A}$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных ${\displaystyle x,y,n.}$ Уравнение названо в честь французского математика , который в 1850 году исследовал уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$ и доказал, что оно имеет только тривиальные решения :

${\displaystyle 0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}}$

Из результатов Шори и Тейдемана следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно . Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа с ${\displaystyle A=1}$ и ${\displaystyle 1\leqslant D\leqslant 100}$ . В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

${\displaystyle y^{n}-7=x^{2}\,}$

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. также

• Гипотеза Пиллаи : уравнение ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ всегда имеет только конечное число решений.

Примечания

Литература

• Nagell T. The Diophantine equation x ² + 7 = 2 ⁿ // Ark. Mat.. — 1961. — Т. 30. — P. 185—187. — Bibcode : . — doi : .
• Saradha N., Srinivasan A. // Diophantine Equations. — Narosa, 2008. — P. 207—223. — ISBN 978-81-7319-898-4 .

Ссылки

• (англ.) . Wolfram MathWorld. Дата обращения: 8 мая 2012.