Треугольник Паскаля ( арифметический треугольник ) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов , имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы . Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля . Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре , комбинаторике , теории вероятностей , математическом анализе , теории чисел .

История

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века к трудам другого математика, Пингалы . Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе , в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом , астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» , которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих предшественников.

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k » .

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
  • первое и последнее числа равны 1;
  • второе и предпоследнее числа равны n ;
  • третье число равно треугольному числу ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$ , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
  • четвёртое число является тетраэдрическим ;
  • m -е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$ .
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента ( n − 1)-й строки, есть n -е число Фибоначчи :

  ${\displaystyle {\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.}$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана .
• Сумма чисел n -й строки треугольника Паскаля равна ${\displaystyle 2^{n}}$ .
• Все числа в n -й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка ).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3 n , 3 n + 1, 3 n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

См. также

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера
• Треугольник Хосойя

Примечания

Литература

• Паскаля треугольник // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. -232. — 352 с.
• Фукс Д., Фукс М. // Квант . — 1970. — № 6 . — С. 17—25 .
• Успенский В. А. . — М. : Наука, 1979. — 48 с. — ( Популярные лекции по математике ). — 200 000 экз.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .