Interested Article - Коммутатор (алгебра)

Коммутатором операторов и в алгебре , а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона .

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором

  • Антикоммутативность : Из этого тождества следует что для любого оператора .

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

  • . Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора По этой причине оператор называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор
  • Тождество Якоби : Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли . Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
  • Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
  • Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов . Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия .

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора физической величины на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния , в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) и соответствующей координаты (см. соотношение неопределённостей ).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

и определения полной производной оператора по времени

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени . Это соотношение является квантовым аналогом тождества

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения . Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

— оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса ; дельта Кронекера ; абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга .

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента:

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно ) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике . Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли , поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами и называются величины, коммутатор которых .

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют .

Антикоммутатор

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца , определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

Через антикоммутатор вводится коммутативное « йорданово умножение ». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры

Литература

См. также

Примечания

  1. . Дата обращения: 15 апреля 2016. 24 апреля 2016 года.
Источник —

Same as Коммутатор (алгебра)