Interested Article - Топологическое квантовое число

В физике топологическое квантовое число (также называемое топологическим зарядом ) — это любая величина в физической теории, которая принимает лишь дискретное множество значений, вследствие топологических соображений. Обычно топологические квантовые числа являются топологическими инвариантами , связанными с решениями типа топологических солитонов некоторой системы дифференциальных уравнений , моделирующих физическую систему, так как солитоны сами по себе своей стабильностью обязаны топологическим соображениям. Специальное название «топологические соображения» обычно следует из появления фундаментальной группы или гомотопической группы более высокой размерности в описании задачи, достаточно часто потому, что граница, на которую накладываются граничные условия , имеет нетривиальную гомотопическую группу, фиксированную дифференциальными уравнениями. Топологическое квантовое число некоторого решения иногда называют или, более строго, степенью непрерывного отображения .

Недавние мысли о природе фазовых переходов показывают, что топологические квантовые числа, и связанные с ними солитоны , могут создаваться или разрушаться в процессе фазового перехода.

Физика частиц

В физике частиц , примером является скирмион , для которого барионное число — это и есть топологическое квантовое число. Первоначальным является факт того, что изоспин моделируется SU(2) , которая изоморфна 3-сфере $S_{3}$ . Беря действительное трехмерное пространство, и замыкая его точкой на бесконечности, также получаем 3-сферу. Решения уравнения Скирма в действительном трехмерном пространстве отображают точку в «реальном» (физическом, евклидовом) пространстве в точку 3-многообразия SU(2). Топологически различные решения «обёртывают» одну сферу вокруг другой так, что ни одно решение, независимо от того, как оно было видоизменено, не может «развернуться» без возникновения разрыва в решении. В физике такие разрывы связаны с бесконечностью энергии и, следовательно, запрещены.

В вышеуказанном примере топологическое утверждение состоит в том, что 3-я гомотопическая группа 3-сферы : $\pi _{3}(S_{3})=\mathbb {Z}$ и тогда барионное число может принимать только целые значения.

Эти идеи находят своё обобщение в .

Точно решаемые модели

Дополнительные примеры могут быть найдены в области точно решаемых моделей , таких как уравнение синус-Гордона , уравнение Кортевега — де Вриза и . 1-мерное уравнение sine-Gordon пишется для чрезвычайно простого примера, так как роль фундаментальной группы играет $\pi _{1}(S_{1})=\mathbb {Z}$ и, таким образом, это действительно : круг может быть обёрнут вокруг круга целое число раз.

Физика твёрдого тела

В физике твёрдого тела такие типы кристаллических дислокаций , как , могут быть описаны топологическими солитонами. Пример, включающий винтовые дислокации, связан с .