Взаимодействие четвёртой степени ( фи-в-четвёртой теория , φ ⁴ -теория , четверное взаимодействие ) — раздел квантовой теории поля , где скалярное поле обладает самодействием в виде φ ⁴ . Другие типы взаимодействий четвёртой степени можно найти в разделе . Классическое свободное скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона . Если скалярное поле обозначено ${\displaystyle \varphi }$ , взаимодействие четвёртой степени добавляет потенциальную энергию поля в виде ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ к лагранжевой плотности . Константа связи ${\displaystyle \lambda }$ безразмерна в 4-мерном пространстве -времени.

В этой статье используется ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ сигнатура пространства Минковского .

Лагранжиан для вещественного скалярного поля

Плотность лагранжиана для вещественного скалярного поля с взаимодействием четвёртой степени равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Этот лагранжиан обладает глобальной симметрией отражения Z ₂ ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$ .

Лагранжиан для комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно обосновать следующим образом. Для двух скалярных полей ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ лагранжиан имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

которое можно записать в более сжатой форме, вводя комплексное скалярное поле ${\displaystyle \phi }$ определяемое как

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Выраженный в новых переменных (комплексного скалярного поля), приведённый выше лагранжиан принимает вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

что, таким образом, эквивалентно SO(2) модели вещественных скалярных полей ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ , в чём можно убедиться, разложив комплексное поле ${\displaystyle \phi }$ по действительной и мнимой частям.

С участием ${\displaystyle N}$ вещественных полей, можно построить ${\displaystyle \varphi ^{4}}$ -модель с глобальной симметрией SO(N) , заданной лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно SO(2)-модели вещественных скалярных полей.

Во всех приведённых выше моделях константа связи ${\displaystyle \lambda }$ должна быть положительной, так как в противном случае потенциал был бы неограничен снизу и устойчивого вакуума не существовало бы. Кроме того, интеграл Фейнмана по путям, обсуждаемый ниже, был бы плохо определён. В 4-х измерениях, ${\displaystyle \phi ^{4}}$ теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания на высоких энергиях перенормировка сделала бы эту теорию .

Континуальный интеграл

Разложение по диаграммам Фейнмана можно также получить из через интеграл по траекториям . Упорядоченные по времени вакуумные средние значения полиномов от φ, известные как n -частичные функции Грина, строятся путём интегрирования по всем возможным полям, нормированных значением вакуумного среднего без внешних полей,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Все эти функции Грина получаются путём разложения экспоненты по J ( x )φ( x ) в производящую функцию

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Вращение Вика задаёт переход к мнимому времени. Затем изменение сигнатуры на (++++) даёт интеграл статистической механики φ ⁴ -теории по 4-мерному евклидову пространству ,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно использовать преобразование Фурье , чир даёт

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

куда ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака .

Стандартный трюк для вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы записать его как произведение экспоненциальных множителей, схематично,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в степенной ряд, а комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 рассматривают как произведение бесконечного числа элементарных интегралов Гаусса, а результат можно выразить в виде суммы диаграмм Фейнмана , рассчитанных с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$ в n -точечной евклидовой функции Грина представлена внешней линией на графике и связано с импульсом p .
• Каждая вершина представлена фактором -λ .
• При заданном порядке λ ^k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами строятся так, что импульсы, входящие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена коэффициентом 1/( q ² + m ² ), где q — импульс, протекающий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перестановки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включать графы, содержащие «вакуумные пузыри», связные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$ . Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ${\displaystyle -i\lambda }$ , а каждая внутренняя линия представлена множителем i /( q ² — m ² + iε ), где член ε представляет небольшое вращение Вика, необходимое для сходимости интеграла Гаусса в пространстве Минковского.

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми вкладами», на диаграммах Фейнмана обычно расходятся. Это обычно устраняется перенормировкой , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, что диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов , конечны . При этом необходимо вводить масштаб перенормировки, от которого становятся зависимыми константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к упомянутому ранее полюсу Ландау и требует, чтобы обрезание приводило к конечным интегралам. В качестве альтернативы, если отсечение может уйти в бесконечность, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию .

Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если m ² становится отрицательным, но λ остаётся положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с наименьшей энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z ₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний, таких как . В теории O (2) вакуум располагался бы на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушил бы симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к появлению новой частицы бозона Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом механизма Хиггса .

Спонтанное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой наблюдается спонтанное нарушение симметрии, — это система с одним скалярным полем ${\displaystyle \varphi }$ с лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

где ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$ и

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Минимизируя потенциал по переменной ${\displaystyle \varphi }$ приводит к

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Теперь мы расширим поле вокруг этого минимального записав

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

и подставив в лагранжиан получим

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

где скаляр ${\displaystyle \sigma }$ теперь имеет положительный массовый член.

Думая в терминах значений вакуумного среднего позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантным относительно ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрии ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ . С

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

оба минимума, должно существовать два разных вакуума: ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$ с участием

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Поскольку ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрия означает ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ , это должно также относиться к ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ . Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрия исчезла, она всё ещё есть, но теперь она действует как ${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$ Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: их нарушает вакуум, но в лагранжиане они фактически не нарушены, а просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом .

Точные решения

Существует множество точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

что можно написать для безмассового, ${\displaystyle \mu _{0}=0}$ случай как

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,-1),}$

где ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ — эллиптическая функция Якоби и ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$ — константы интегрирования с учётом следующего дисперсионного соотношения

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Интересно, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с законом дисперсии, соответствующим решению для массивного поля. Когда массовый член не равен нулю, получается

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

теперь дисперсионное соотношение

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Наконец, для случая нарушения симметрии

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

существование ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$ и имеет место следующее дисперсионное соотношение

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, дисперсионное соотношение имеет правильный знак. Кроме того, функция Якоби ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$ не имеет действительных нулей, и поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.

Доказательство единственности можно получить, если учесть, что решение можно искать в виде ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ , где ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$ . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с ${\displaystyle p}$ удовлетворяющие правильному дисперсионному соотношению.

Примечания

Литература

• 't Hooft, G. , «The Conceptual Basis of Quantum Field Theory» ( ).
• Bazghandi, Mustafa (August 2019). "Lie symmetries and similarity solutions of phi-four equation". Indian Journal of Mathematics . 61 (2): 187—197.