Поворот Вика
— метод решения задач в
пространстве Минковского
посредством решения связанной задачи в
евклидовом пространстве
, используя
комплексный анализ
, в частности, понятие
аналитического продолжения
. Назван в честь
Джанкарло Вика
.
Обзор
Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:
-
становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:
-
,
если координата
принимает только
мнимые значения
. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами
,
,
,
, заменяя
, можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами
,
,
,
.
Статистическая и квантовая механика
Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры
мнимым временем
. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре
. Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией
есть
, где
константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой
:
-
Сейчас рассмотрим один
квантовый гармонический осциллятор
в суперпозиции базовых состояний, за время
с Гамильтонианом
. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией
есть
где
редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний
приводит к произвольной суперпозиции
есть, пропуская нормирующий множитель,
-
-
-
Статика и динамика
Поворот Вика связывает статические задачи в
измерениях с динамическими задачами в
измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где
примером будет висящая струна с закреплёнными концами в
гравитационном поле
. Форма кривой струны задаётся функцией
. Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:
-
где
— коэффициент упругости струны и
—
потенциальная энергия гравитации
.
Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с
принципом наименьшего действия
, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):
-
Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя
) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив
на
,
на
, и коэффициент упругости
на массу камня
:
-
-
Ссылки
-
от 1 октября 2020 на
Wayback Machine
— a blog introduction
-
от 29 августа 2009 на
Wayback Machine
— a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
-
Температурные функции Грина
— здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.