Interested Article - Поворот Вика

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве , используя комплексный анализ , в частности, понятие аналитического продолжения . Назван в честь Джанкарло Вика .

Обзор

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

,

если координата принимает только мнимые значения . То есть задачу в пространстве Минковского с координатами , , , , заменяя , можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами , , , .

Статистическая и квантовая механика

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры мнимым временем . Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре . Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией есть , где константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой :

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время с Гамильтонианом . Относительное изменение фаз базового состояния с энергией есть где редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний приводит к произвольной суперпозиции есть, пропуская нормирующий множитель,

Статика и динамика

Поворот Вика связывает статические задачи в измерениях с динамическими задачами в измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле . Форма кривой струны задаётся функцией . Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

где — коэффициент упругости струны и потенциальная энергия гравитации .

Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия , достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя ) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив на , на , и коэффициент упругости на массу камня :

Ссылки

  • от 1 октября 2020 на Wayback Machine — a blog introduction
  • от 29 августа 2009 на Wayback Machine — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
  • Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.
Источник —

Same as Поворот Вика