Interested Article - Аксиоматическая квантовая теория поля
- 2021-10-07
- 1
Аксиоматическая квантовая теория поля ( Аксиоматическая теория поля ) — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.
Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы ), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.
Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицы ).
В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление Гейзенберга , в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.
Аксиомы квантовой теории поля
Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемыми
Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине ставится в соответствие самосопряжённый оператор . Если величине соответствует оператор , то величине соответствует оператор .
Релятивистская инвариантность
Средние значения физических наблюдаемых не изменяются относительно собственных преобразований Пуанкаре . Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре ( теорема Баргмана-Вигнера ) .
Постулат локальности
Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собой .
- при
Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).
Принцип спектральности
Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классов :
- — элементарные частицы с положительной массой.
- — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.
Здесь — квадрат оператора четырёхмерного импульса, — масса элементарной частицы, — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.
Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поля
- Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля . Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния .
- Неизвестно описание класса обобщённых функций , удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана : .
Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поля
Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.
Функториальная
FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля ), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или между этими пространствами.
Примечания
Литература
- Боголюбов Н. Н. , Логунов А. А. , Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М. : Наука, 1969. — 424 с.
- Стритер Р., Вайтман А. PCT, спин и статистика и всё такое. — М. : Наука, 1966. — 251 с.
- Йост Р. Общая теория квантованных полей. — М. : Мир, 1967. — 236 с.
- 2021-10-07
- 1