Уравнения, связывающие трансверсальные компоненты поля ${\displaystyle ({\vec {E}}_{T},\;{\vec {H}}_{T})}$ с компонентами вдоль направления излучения ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}_{Z}}$

Пусть электромагнитное поле, распространяющееся в направлении ${\displaystyle {\vec {z}}}$ , и ${\displaystyle \omega }$ — циклическая частота гармонического сигнала.

• ${\displaystyle {\vec {E}}_{T}}$ связан с ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}_{Z}}$ следующим соотношением:

${\displaystyle {\vec {E}}_{T}={\frac {-\gamma \nabla _{T}E_{Z}-j\omega \mu _{0}(\nabla _{T}H_{Z})\times {\vec {z}}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\vec {H}}_{T}}$ связан с ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}_{Z}}$ следующим соотношением:

${\displaystyle {\vec {H}}_{T}={\frac {-\gamma \nabla _{T}H_{Z}+j\omega \varepsilon _{0}(\nabla _{T}E_{Z})\times {\vec {z}}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}}$

где

• ${\displaystyle \nabla _{T}}$ — трансверсальный оператор Лапласа ;
• ${\displaystyle k_{0}={\frac {\omega }{c}};}$
• ${\displaystyle \gamma ^{2}=k_{c}^{2}-k_{0}^{2};}$
• ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость ;
• ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость .

Поперечное электрическое поле

Когда ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}={\vec {0}}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}_{Z}\neq {\vec {0}}}$ , то предыдущие формулы принимают вид:

${\displaystyle {\vec {E}}_{T}={\frac {-j\omega \mu _{0}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}(\nabla _{T}H_{Z})\times {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {H}}_{T}={\frac {-\gamma }{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}\nabla _{T}H_{Z}}$

Следовательно, ${\displaystyle {\vec {E}}_{T}={\frac {j\omega \mu _{0}}{\gamma }}{\vec {H}}_{T}\times {\vec {z}}=Z_{m}{\vec {H}}_{T}\times {\vec {z}}.}$
где: ${\displaystyle Z_{m}={\frac {j\omega \mu _{0}}{\gamma }}}$
Это выражение принято записывать следующим образом:

${\displaystyle {\vec {H}}_{T}={\frac {{\vec {z}}\times {\vec {E}}_{T}}{Z_{m}}}}$

Поперечное магнитное поле

Когда ${\displaystyle {\vec {H}}_{Z}={\vec {0}}}$ и ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}\neq {\vec {0}}}$ , то предыдущие формулы принимают вид:

${\displaystyle {\vec {E}}_{T}={\frac {-\gamma }{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}\nabla _{T}E_{Z}}$

${\displaystyle {\vec {H}}_{T}={\frac {j\omega \varepsilon _{0}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}(\nabla _{T}E_{Z})\times {\vec {z}}}$

Следовательно,
${\displaystyle {\vec {H}}_{T}={\frac {{\vec {z}}\times {\vec {E}}_{T}}{Z_{m}}},}$
где: ${\displaystyle Z_{m}={\frac {\gamma }{j\omega \varepsilon _{0}}}}$

Поперечное электромагнитное поле

Когда ${\displaystyle {\vec {E}}_{Z}={\vec {H}}_{Z}={\vec {0}}}$ , электромагнитное поле, распространяющееся в направлении ${\displaystyle {\vec {z}}}$ , называется трансверсальным .

В вакууме ${\displaystyle {\vec {H}}}$ связан с ${\displaystyle {\vec {E}}}$ следующим соотношением:

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {{\vec {z}}\times {\vec {E}}}{Z_{0}}}}$

где: ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}}$ — импеданс вакуума.

Эквивалентная схема

Пусть ${\displaystyle Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}Z_{0}}$ — волновое сопротивление среды, в которой распространяется электромагнитная волна в направлении ${\displaystyle \mathbf {z} }$ . Поскольку ${\displaystyle Z\mathbf {H} =\mathbf {z} \times \mathbf {E} ,}$
${\displaystyle \mathbf {E} =Z\mathbf {J} ,}$ где ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {H} \times \mathbf {z} }$ — «плотность тока».