Опера́тор углово́го моме́нта — один из нескольких операторов в квантовой механике , выступающих аналогом классическому угловому моменту . Оператор углового момента играет центральную роль в атомной теории, молекулярной физике и других связанных с вращательной симметрией квантовых задачах. Этот оператор применяется для математического представления физического состояния системы и задаёт значение углового момента, если состояние имеет для него определённое значение. Как в классической, так и в квантовой механике угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией ) является одним из трёх фундаментальных свойств движения .

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается как J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначается как L ) и спиновый угловой момент (для краткости спин , но обычно обозначается как S ). Термин оператор углового момента может относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется согласно теореме Нётер .

Обзор

В квантовой механике угловой момент может относиться к одной из трёх связанных между собой величин.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента : ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,.}$ Квантово-механические аналоги этого определения имеют те же отношения

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,,}$

где r — квантовый оператор положения , p — квантовый оператор импульса , × обозначает векторное произведение , а L — оператор орбитального углового момента . L (точно так же, как p и r ) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), то есть ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)\,,}$ где L _x , L _y , L _z — три различных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в координатном базисе в виде

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,}$

где ∇ — векторный дифференциальный оператор набла .

Спиновый угловой момент

Существует ещё один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина ), представленный спиновым оператором ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)\,.}$ Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на циркуляции энергии в электронной волне . Все элементарные частицы имеют характерный спин ( имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (ниже).

Полный угловой момент

Наконец, можно ввести полный угловой момент ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)\,,}$ который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловые моменты частицы или системы

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако вклады L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться между L и S , сохраняя общее значение J постоянным.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, что означает, что его можно записать в терминах его векторных компонентов. ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)\,.}$ Компоненты подчиняются между собой следующим коммутационным соотношениям

${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z}\,,\,\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x}\,,\,\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}\,,}$ где [, ] обозначает коммутатор .

${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX\,.}$

В общем случае это можно записать как

${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}\,,}$ где l , m , n — индексы компонент (1 для x , 2 для y , 3 для z ), а ε _lmn обозначает символ Леви-Чивиты .

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения

${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} \,.}$

Коммутационные соотношения можно доказать используя прямое следствие канонических коммутационных соотношений ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}\,,}$ где δ _lm — дельта Кронекера .

Аналогичное соотношение существует и в классической физике

${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}\,,}$

где L _n — компонента классического оператора углового момента, а ${\displaystyle \{,\}}$ обозначает скобку Пуассона .

Те же коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента)

${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}\,.}$

Можно предположить , что они выполняются по аналогии с L . В качестве альтернативы они могут быть получены , как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε _lmn являются её структурными константами . В этом случае алгеброй Ли является SU (2) или SO (3) в физических обозначениях ( ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ или ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$ соответственно в математической нотации), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трёх измерениях. То же самое верно для J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерению и неопределённости, как обсуждается далее.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (колебательно-вращательного) углового момента N , спинового момента электрона S и ядерного спинового момента I . Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J , а не N. Как доказал Ван Флек , компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к неподвижным осям молекулы, имеют коммутационные соотношения, отличные от приведённых выше, которые относятся к компонентам, связанным с осями, закреплёнными в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента

${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\,.}$ ${\displaystyle L^{2}}$

— ещё один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами ${\displaystyle \mathbf {L} \,,}$

${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0\,.}$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, состоит в том, чтобы начать с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] в предыдущем разделе:

Доказательство [ L ² , L _x ] = 0, начиная с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}}$$

Математически, ${\displaystyle L^{2}}$ является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на ${\displaystyle \mathbf {L} }$ .

Как и выше, аналогичное соотношение выполняется в классической физике

${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0\,,}$

где ${\displaystyle L_{i}}$ — компонента классического оператора углового момента, и ${\displaystyle \{,\}}$ обозначает скобку Пуассона .

В квантовом случае, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спиновому и полному угловым моментам)

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0\,,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0\,.\end{aligned}}}$

Принцип неопределённости

В квантовой механике, когда две наблюдаемые не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми . Две взаимодополняющие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределённости . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть определена другая в тот же момент времени. Точно так же, как существует принцип неопределённости, касающийся координаты и импульса, существуют принципы неопределённости для компонент углового момента.

Соотношение Робертсона — Шредингера даёт следующий принцип неопределённости

${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|\,,}$

где ${\displaystyle \sigma _{X}}$ — стандартное отклонение измеренных значений X и ${\displaystyle \langle X\rangle }$ обозначает ожидаемая величина для X . Это неравенство также верно, если x , y , z переставить местами или если L заменить на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, L _x и L _y ) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0\,.}$

Однако возможно одновременное измерение или определение оператора L ² и любой компоненты L ; например, L ² и L _z , что часто бывает полезно. Их значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L ² и L _z , но не L _x или L _y . Собственные значения связаны с l и m , как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется — то есть он не может принимать производные значения, а только дискретные между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где ${\displaystyle \hbar }$ приведённая постоянная Планка :

Измеримая величина …	Принимаемые значения	Примечания
${\displaystyle L^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}\ell (\ell +1)}$ , где ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$	${\displaystyle \ell }$ называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом .
${\displaystyle L_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{\ell }}$ , где ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell }$	${\displaystyle m_{\ell }}$ называют магнитным квантовым числом . Это же правило квантования справедливо для любого компонента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ; например, ${\displaystyle L_{x}\,or\,L_{y}}$ . Это правило иногда называют «пространственным квантованием».
${\displaystyle S^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1)}$ , где ${\displaystyle s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$	s называется спиновым квантовым числом или просто спином . Например, частице со спином ½ соответствует s = ½.
${\displaystyle S_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{s}}$ , где ${\displaystyle m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s}$	${\displaystyle m_{s}}$ иногда называют «квантовым числом проекции спина». Это же правило квантования справедливо для любого компонента ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ; например, ${\displaystyle S_{x}\,or\,S_{y}}$ .
${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}j(j+1)}$ , где ${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$	j называют квантовым числом полного углового момента .
${\displaystyle J_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{j}}$ , где ${\displaystyle m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j}$	${\displaystyle m_{j}}$ называют квантовым числом проекции полного углового момента . Это же правило квантования справедливо для любого компонента ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ; например, ${\displaystyle J_{x}\,or\,J_{y}}$ .

Вывод с использованием лестничных операторов

Для вывода правил квантования, описанных выше, распространённым способом является метод лестничных операторов . Лестничные операторы для полного углового момента ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y}\,,\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\,.\end{aligned}}}$

Предполагая, что ${\displaystyle |\psi \rangle }$ является одновременным собственным состоянием операторов ${\displaystyle J^{2}}$ и ${\displaystyle J_{z}}$ (то есть состоянием с определённым значением ${\displaystyle J^{2}}$ и определённое значением ${\displaystyle J_{z}}$ ). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент ${\displaystyle \mathbf {J} }$ , можно доказать, что каждое из состояний ${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$ и ${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$ является либо нулём, либо одновременным собственным состоянием ${\displaystyle J^{2}}$ и ${\displaystyle J_{z}}$ , с тем же значением, что и ${\displaystyle |\psi \rangle }$ для ${\displaystyle J^{2}}$ , но со значениями для ${\displaystyle J_{z}}$ , которые увеличиваются или уменьшаются на ${\displaystyle \hbar }$ соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением для ${\displaystyle J_{z}}$ , то есть вне допустимого диапазона значений. Таким образом, используя лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для операторов ${\displaystyle J^{2}}$ и ${\displaystyle J_{z}}$ .

Вывод возможных значений и квантовых чисел для ${\displaystyle J_{z}}$ и ${\displaystyle J^{2}}$ .

Пусть ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ будет функцией состояния для системы с собственным значением ${\displaystyle {J^{2}}'}$ для ${\displaystyle J^{2}}$ и собственным значением ${\displaystyle J_{z}'}$ для ${\displaystyle J_{z}}$ .

Из ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$ получается,

$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\,.}$$

Применяя обе части приведённого выше уравнения к ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')\,,}$

$${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,.}$$

Поскольку ${\displaystyle J_{x}}$ и ${\displaystyle J_{y}}$ являются реальными наблюдаемыми, ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ не является отрицательным и ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}\,.}$ Таким образом, ${\displaystyle J_{z}'}$ имеет верхнюю и нижнюю границы.

Два коммутационных соотношения для компонентов ${\displaystyle \mathbf {J} }$ таковы:

$${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}\,.}$$

Их можно объединить, чтобы получить два уравнения, которые записываются вместе с использованием знаков ${\displaystyle \pm }$ в следующем выражении:

$${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\,,}$$

где в одном из уравнений используются знаки ${\displaystyle +}$ , а в другом — знаки ${\displaystyle -}$ . Применяя обе части вышеприведенного к ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;\,.\\\end{aligned}}}$$

Вышеприведённое показывает, что ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ являются двумя собственными функциями ${\displaystyle J_{z}}$ с соответствующими собственными значениями ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar \,,}$ если только одна из функций не равна нулю, и в этом случае она не является собственной функцией. Для функций, не равных нулю,

$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,.}$$

Дальнейшие собственные функции ${\displaystyle J_{z}}$ и соответствующие собственные значения могут быть найдены повторным применением ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ до тех пор, пока величина результирующего собственного значения равна ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}\,.}$ Поскольку собственные значения ${\displaystyle J_{z}}$ ограничены, пусть ${\displaystyle J_{z}^{0}}$ будет наименьшим собственным значением, а ${\displaystyle J_{z}^{1}}$ — наибольшим. Затем

$${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$

и

$${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0\,,}$$

поскольку нет состояний, в которых собственное значение ${\displaystyle J_{z}}$ равно ${\displaystyle <J_{z}^{0}}$ или ${\displaystyle >J_{z}^{1}\,.}$ Применяя ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$ к первому уравнению, ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ ко второму и используя ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\,,}$ можно показать, что

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$

и

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0\,.}$$

Вычитая первое уравнение из второго и переставляя,

$${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0\,.}$$

Поскольку ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}\,,}$ то второй множитель отрицательный. Тогда первый множитель должен быть равен нулю и, таким образом, ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}\,.}$

Разница ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ происходит от последовательного применения ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ или ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}\,,}$ которые понижают или повышают собственное значение ${\displaystyle J_{z}}$ на ${\displaystyle \hbar \,,}$ так что,

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$

Пусть

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar \,,}$$

где

$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$

Затем, используя ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$ и приведенное выше,

$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$

и

$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar \,,}$$

а допустимые собственные значения ${\displaystyle J_{z}}$ равны

$${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar \,.}$$

Выражая ${\displaystyle J_{z}'}$ через квантовое число ${\displaystyle m_{j}\;}$ и подставляя ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ в ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$ из приведенного выше,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Поскольку ${\displaystyle \mathbf {S} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ подчиняется тем же коммутационным соотношениям, что и ${\displaystyle \mathbf {J} }$ , то к ним можно применить тот же лестничный анализ, за исключением того, что для ${\displaystyle \mathbf {L} }$ существует ещё одно ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Визуальная интерпретация

Операторы угловых моментов нельзя изобразить в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, принято эвристически изображать их следующим образом. Справа изображён набор состояний с квантовыми числами ${\displaystyle \ell =2}$ , и ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ для пяти конусов снизу вверх. При ${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ , все векторы показаны с длиной ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$ . Кольца означают, что ${\displaystyle L_{z}}$ известно точно, но ${\displaystyle L_{x}}$ и ${\displaystyle L_{y}}$ неизвестны; поэтому каждый классический вектор с соответствующей длиной и z -компонентой изображается в виде конуса. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом квантовыми числами ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle m_{\ell }}$ может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы их нельзя определить (поскольку компоненты ${\displaystyle L}$ не пересекаются друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако ожидаемый эффект чрезвычайно мал. Например, если ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$ составляет примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента как генератора вращения . Если обозначить как ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ , который вращает любое квантовое состояние вокруг оси ${\displaystyle {\hat {n}}}$ на угол ${\displaystyle \phi }$ , то при ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$ оператор ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ приближается к тождественному оператору , потому что поворот на 0° отображает все состояния в самих себя. Тогда оператор углового момента ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$ вокруг оси ${\displaystyle {\hat {n}}}$ определяется как

${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}\,,}$

где 1 — тождественный оператор . Здесь R является аддитивным морфизмом: ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$ ; как следствие

${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)\,,}$

где exp — матричная экспонента .

Оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при её вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Точно так же, как J является генератором для , L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$

вращает положение (в координатном пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор

${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не изменяя положение частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S следует из

${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)\,,}$

то есть если координатная система повернута, а затем повёрнуты внутренние состояния, то в целом вся система также повёрнута.

SU(2), SO(3) и повороты на 360°

Хотя можно было бы ожидать ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$ (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2, 3/2, и так далее), ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$ , а когда это целое число, ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ . Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2) , которая идентична SO(3) для небольших поворотов, но где поворот на 360° математически отличается от поворота на 0°. Поворот на 720° аналогичен повороту на 0° .

С другой стороны, ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно полному отсутствию вращения. Это отличается от вращения на 360° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с полным отсутствием вращения. Другими словами, ${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$ операторы имеют структуру SO(3) , а ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle R_{\text{internal}}}$ несут структуру SU(2) .

Из уравнения ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$ , можно выбрать собственное состояние ${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$ и соответственно

${\displaystyle e^{-2\pi im}=1\,,}$

то есть квантовые числа орбитального углового момента могут принимать только целые, а не полуцелые значения.

Связь с теорией представлений

Начиная с определённого квантового состояния ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ , рассмотрим множество состояний ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$ для всех возможных ${\displaystyle {\hat {n}}}$ и ${\displaystyle \phi }$ , то есть множество состояний, возникающих при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейные комбинации этого набора задают собой векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и R _internal ) или SO (3) (для R _spatial ).

Из связи между J и операторами вращения

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ или ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ .

Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.

Приведённый выше вывод на основе лестничных операторов — это метод классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические повороты не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси x , а затем на 1° вокруг оси y даёт несколько иной общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси y , а затем на 1° вокруг оси x . Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения для операторов углового момента .

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет собой энергию системы и определяет её динамику. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений

${\displaystyle RHR^{-1}=H\,,}$

где R — . Как следствие, ${\displaystyle [H,R]=0}$ , а потом ${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$ из-за соотношения между операторами J и R . По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется, что следует из теоремы Нётер .

Если H является просто гамильтонианом для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть когда функция потенциальной энергии зависит только от ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$ ). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда вращательно-инвариантен, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S и обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Взаимодействие угловых моментов

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S , но сохраняется только полный угловой момент J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J ₁ и J ₂ , но сохраняется только суммарный угловой момент J = J ₁ + J ₂ .

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь, с одной стороны, между состояниями, в которых ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ имеют определённые значения, а с другой стороны, состояниями, в которых ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$ имеют определённые значения, так как последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базисами заключается в использовании коэффициентов Клебша — Гордана .

Из них следует одним из важных результатов, что связь между квантовыми числами для ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$ задаётся в виде

${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}\,.}$

Для атома или молекулы с J = L + S спектральный терм даёт квантовые числа, связанные с операторами ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$ .

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\,.\end{aligned}}}$

В сферических координатах угловую часть оператора Лапласа можно выразить угловым моментом. Это приводит к соотношению

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}\,.}$ При решении найти собственные состояния оператора ${\displaystyle L^{2}}$ , получается следующее выражение

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}|l,m\rangle &=\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle \,,\\L_{z}|l,m\rangle &=\hbar m|l,m\rangle \,,\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |l,m\right\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$ - сферические гармоники .

Примечания

Литература

• Condon, E. U.; Shortley, G. H. Chapter III: Angular Momentum // Quantum Theory of Atomic Spectra. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 978-0521092098 .