Interested Article - Оператор углового момента

Квантовая механика
См. также: Портал:Физика

Опера́тор углово́го моме́нта — один из нескольких операторов в квантовой механике , выступающих аналогом классическому угловому моменту . Оператор углового момента играет центральную роль в атомной теории, молекулярной физике и других связанных с вращательной симметрией квантовых задачах. Этот оператор применяется для математического представления физического состояния системы и задаёт значение углового момента, если состояние имеет для него определённое значение. Как в классической, так и в квантовой механике угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией ) является одним из трёх фундаментальных свойств движения .

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается как J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначается как L ) и спиновый угловой момент (для краткости спин , но обычно обозначается как S ). Термин оператор углового момента может относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется согласно теореме Нётер .

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зелёный), орбитального L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределённости между измеряемыми компонентами углового момента.

В квантовой механике угловой момент может относиться к одной из трёх связанных между собой величин.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента : Квантово-механические аналоги этого определения имеют те же отношения

где r — квантовый оператор положения , p — квантовый оператор импульса , × обозначает векторное произведение , а L оператор орбитального углового момента . L (точно так же, как p и r ) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), то есть где L x , L y , L z — три различных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в координатном базисе в виде

где — векторный дифференциальный оператор набла .

Спиновый угловой момент

Существует ещё один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина ), представленный спиновым оператором Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на циркуляции энергии в электронной волне . Все элементарные частицы имеют характерный спин ( имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (ниже).

Полный угловой момент

Наконец, можно ввести полный угловой момент который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловые моменты частицы или системы

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако вклады L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться между L и S , сохраняя общее значение J постоянным.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, что означает, что его можно записать в терминах его векторных компонентов. Компоненты подчиняются между собой следующим коммутационным соотношениям

где [, ] обозначает коммутатор .

В общем случае это можно записать как

где l , m , n — индексы компонент (1 для x , 2 для y , 3 для z ), а ε lmn обозначает символ Леви-Чивиты .

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения

Коммутационные соотношения можно доказать используя прямое следствие канонических коммутационных соотношений где δ lm дельта Кронекера .

Аналогичное соотношение существует и в классической физике

где L n — компонента классического оператора углового момента, а обозначает скобку Пуассона .

Те же коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента)

Можно предположить , что они выполняются по аналогии с L . В качестве альтернативы они могут быть получены , как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε lmn являются её структурными константами . В этом случае алгеброй Ли является SU (2) или SO (3) в физических обозначениях ( или соответственно в математической нотации), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трёх измерениях. То же самое верно для J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерению и неопределённости, как обсуждается далее.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (колебательно-вращательного) углового момента N , спинового момента электрона S и ядерного спинового момента I . Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J , а не N. Как доказал Ван Флек , компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к неподвижным осям молекулы, имеют коммутационные соотношения, отличные от приведённых выше, которые относятся к компонентам, связанным с осями, закреплёнными в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента

— ещё один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, состоит в том, чтобы начать с коммутационных соотношений [ L , L m ] в предыдущем разделе:

Математически, является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на .

Как и выше, аналогичное соотношение выполняется в классической физике

где — компонента классического оператора углового момента, и обозначает скобку Пуассона .

В квантовом случае, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спиновому и полному угловым моментам)

Принцип неопределённости

В квантовой механике, когда две наблюдаемые не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми . Две взаимодополняющие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределённости . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть определена другая в тот же момент времени. Точно так же, как существует принцип неопределённости, касающийся координаты и импульса, существуют принципы неопределённости для компонент углового момента.

Соотношение Робертсона — Шредингера даёт следующий принцип неопределённости

где стандартное отклонение измеренных значений X и обозначает ожидаемая величина для X . Это неравенство также верно, если x , y , z переставить местами или если L заменить на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, L x и L y ) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как

Однако возможно одновременное измерение или определение оператора L 2 и любой компоненты L ; например, L 2 и L z , что часто бывает полезно. Их значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L 2 и L z , но не L x или L y . Собственные значения связаны с l и m , как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется — то есть он не может принимать производные значения, а только дискретные между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где приведённая постоянная Планка :

Измеримая величина Принимаемые значения Примечания
,
где 
называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом .
,
где 
называют магнитным квантовым числом .

Это же правило квантования справедливо для любого компонента ; например, .

Это правило иногда называют «пространственным квантованием».

,
где 
s называется спиновым квантовым числом или просто спином .

Например, частице со спином ½ соответствует s = ½.

,
где 
иногда называют «квантовым числом проекции спина».

Это же правило квантования справедливо для любого компонента ; например, .

,
где 
j называют квантовым числом полного углового момента .
,
где 
называют квантовым числом проекции полного углового момента .

Это же правило квантования справедливо для любого компонента ; например, .

В этой стоячей волне на круглой струне окружность разбита ровно на 8 длин волн . Подобная стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн распределённых по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Для вывода правил квантования, описанных выше, распространённым способом является метод лестничных операторов . Лестничные операторы для полного углового момента определяются как

Предполагая, что является одновременным собственным состоянием операторов и (то есть состоянием с определённым значением и определённое значением ). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент , можно доказать, что каждое из состояний и является либо нулём, либо одновременным собственным состоянием и , с тем же значением, что и для , но со значениями для , которые увеличиваются или уменьшаются на соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением для , то есть вне допустимого диапазона значений. Таким образом, используя лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для операторов и .

Поскольку и подчиняется тем же коммутационным соотношениям, что и , то к ним можно применить тот же лестничный анализ, за исключением того, что для существует ещё одно ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели для орбитального углового момента.

Операторы угловых моментов нельзя изобразить в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, принято эвристически изображать их следующим образом. Справа изображён набор состояний с квантовыми числами , и для пяти конусов снизу вверх. При , все векторы показаны с длиной . Кольца означают, что известно точно, но и неизвестны; поэтому каждый классический вектор с соответствующей длиной и z -компонентой изображается в виде конуса. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом квантовыми числами и может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы их нельзя определить (поскольку компоненты не пересекаются друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако ожидаемый эффект чрезвычайно мал. Например, если составляет примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента как генератора вращения . Если обозначить как , который вращает любое квантовое состояние вокруг оси на угол , то при оператор приближается к тождественному оператору , потому что поворот на 0° отображает все состояния в самих себя. Тогда оператор углового момента вокруг оси определяется как

где 1 — тождественный оператор . Здесь R является аддитивным морфизмом: ; как следствие

где exp — матричная экспонента .

Оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при её вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы . Верхний прямоугольник показывает две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками.
  1. Оператор R , связанный с J , вращает всю систему.
  2. Оператор R spatial , связанный с L , вращает положения частиц без изменения их внутренних спиновых состояний.
  3. Оператор R internal , связанный с S , вращает внутренние спиновые состояния частиц, не изменяя их положения.

Точно так же, как J является генератором для , L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

вращает положение (в координатном пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не изменяя положение частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S следует из

то есть если координатная система повернута, а затем повёрнуты внутренние состояния, то в целом вся система также повёрнута.

SU(2), SO(3) и повороты на 360°

Хотя можно было бы ожидать (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2, 3/2, и так далее), , а когда это целое число, . Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2) , которая идентична SO(3) для небольших поворотов, но где поворот на 360° математически отличается от поворота на 0°. Поворот на 720° аналогичен повороту на 0° .

С другой стороны, при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно полному отсутствию вращения. Это отличается от вращения на 360° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с полным отсутствием вращения. Другими словами, операторы имеют структуру SO(3) , а и несут структуру SU(2) .

Из уравнения , можно выбрать собственное состояние и соответственно

то есть квантовые числа орбитального углового момента могут принимать только целые, а не полуцелые значения.

Связь с теорией представлений

Начиная с определённого квантового состояния , рассмотрим множество состояний для всех возможных и , то есть множество состояний, возникающих при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейные комбинации этого набора задают собой векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и R internal ) или SO (3) (для R spatial ).

Из связи между J и операторами вращения

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. или .

Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.

Приведённый выше вывод на основе лестничных операторов — это метод классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические повороты не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси x , а затем на 1° вокруг оси y даёт несколько иной общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси y , а затем на 1° вокруг оси x . Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения для операторов углового момента .

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет собой энергию системы и определяет её динамику. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений

где R — . Как следствие, , а потом из-за соотношения между операторами J и R . По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется, что следует из теоремы Нётер .

Если H является просто гамильтонианом для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть когда функция потенциальной энергии зависит только от ). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда вращательно-инвариантен, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S и обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Взаимодействие угловых моментов

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S , но сохраняется только полный угловой момент J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J 1 и J 2 , но сохраняется только суммарный угловой момент J = J 1 + J 2 .

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь, с одной стороны, между состояниями, в которых имеют определённые значения, а с другой стороны, состояниями, в которых имеют определённые значения, так как последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базисами заключается в использовании коэффициентов Клебша — Гордана .

Из них следует одним из важных результатов, что связь между квантовыми числами для задаётся в виде

Для атома или молекулы с J = L + S спектральный терм даёт квантовые числа, связанные с операторами .

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен

В сферических координатах угловую часть оператора Лапласа можно выразить угловым моментом. Это приводит к соотношению

При решении найти собственные состояния оператора , получается следующее выражение

где

- сферические гармоники .

Примечания

  1. Introductory Quantum Mechanics, , 2nd Edition, ISBN 0-201-54715-5
  2. Ohanian, Hans C. (1986-06-01). (PDF) . American Journal of Physics (англ.) . 54 (6): 500—505. Bibcode : . doi : . ISSN .
  3. Aruldhas, G. // Quantum Mechanics. — 2004-02-01. — P. 171. — ISBN 978-81-203-1962-2 .
  4. Shankar, R. . — 2nd. — New York : Kluwer Academic / Plenum, 1994. — P. . — ISBN 9780306447907 .
  5. H. Goldstein, C. P. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd Edition , Addison-Wesley 2002, pp. 388 ff.
  6. . Physics 221B Spring 2011 (2011). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано из 26 августа 2014 года.
  7. J. H. Van Vleck (1951). "The Coupling of Angular Momentum Vectors in Molecules". Reviews of Modern Physics . 23 (3). Bibcode : . doi : .
  8. Griffiths, David J. . — Prentice Hall , 1995. — P. .
  9. Goldstein et al, p. 410
  10. // / E. U. Condon, G. H. Shortley. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 9780521092098 .
  11. Griffiths, David J. . — Prentice Hall , 1995. — P. –149.
  12. , pp. .
  13. Текущий вывод основан на выводе Condon и Shortley. Набор наблюдаемых вместе с и образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Кроме того, требуется, чтобы коммутировал с и . Настоящий вывод упрощается за счёт отсутствия включения набора или соответствующего ему набора собственных значений .
  14. Bes, Daniel R. Quantum Mechanics. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2007. — P. 70. — ISBN 978-3-540-46215-6 . — doi : .
  15. Compare and contrast with the contragredient .
  16. Sakurai, JJ & Napolitano, J (2010), (2nd edition) (Pearson) ISBN 978-0805382914

Литература

  • Condon, E. U.; Shortley, G. H. Chapter III: Angular Momentum // Quantum Theory of Atomic Spectra. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 978-0521092098 .
Источник —

Same as Оператор углового момента