Экситон Ванье — Мотта — экситон , радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля ).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году . Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе , но окончательно сформулировано в работах Мотта . Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Поскольку расстояние между электроном и дыркой велико, то можно пользоваться методом эффективной массы . Будем считать массы электрона и дырки изотропными, а взаимодействие между ними — определяемым законом Кулона . Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}_{e}^{2}}{2m_{e}}}+{\frac {{\hat {p}}_{h}^{2}}{2m_{h}}}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Psi =E\Psi }$

Замена переменных, разделяющая поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс, приводит уравнение к виду

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}_{ex}^{2}}{2\mu }}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=\left(E-{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}\right)\Phi (\mathbf {r} )}$

Здесь ${\displaystyle M=m_{e}+m_{h}}$ , ${\displaystyle \mu =\left({\tfrac {1}{m_{e}}}+{\tfrac {1}{m_{h}}}\right)^{-1}}$ — приведённая масса, ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}-\mathbf {r} _{h}}$ .

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода . Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

${\displaystyle E_{n}(k_{ex})=-{\frac {{\mu }e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}=-{\frac {R_{ex}}{n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}}$

Величина ${\displaystyle R_{ex}={\tfrac {\mu e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}}}}$ по аналогии с Ридбергом для атома водорода называется экситонным Ридбергом .

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

${\displaystyle V(r)={e^{2} \over \varepsilon r}e^{-r/r_{D}}}$ ,

где ${\displaystyle r_{D}={\mathcal {E}}kT/4\pi e^{2}N}$ — дебаевский радиус экранирования . Здесь ${\displaystyle N}$ — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle a_{ex}={\tfrac {\hbar ^{2}\varepsilon }{\mu e^{2}}}}$ ( боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: ${\displaystyle a_{ex}>r_{D}}$ . Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах ${\displaystyle Ge}$ это условие выполняется при концентрации доноров ~10 ¹⁷ см ⁻³ и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину ${\displaystyle E_{n}}$ ниже . Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu ₂ O в 1952 году E. Ф. Гроссом и и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции , в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана .

Литература

• Гросс Е. Ф. Экситон и его движение в кристаллической решетке, — «Успехи физических наук», 1962, т. 76, в. 3;
• Нокс Р. Теория экситонов, пер. с англ., — М. , 1966;
• Агранович В. М. Теория экситонов. — М. , 1968;
• Давыдов А. С. Теория молекулярных экситонов. — М. , 1968;
• Экситоны в полупроводниках, [Сб. статей], — М. , 1971;
• Осипьян Ю. А. Физика твердого тела выходит на передовые позиции, — «Природа», 1975, № 10.