Графен
Физика графена
Основа Квантовая механика Уравнение Дирака Двумерный кристалл Нейтрино Постоянная тонкой структуры Фаза Берри Углеродные нанотрубки
Фундаментальные понятия История Зонная структура Уравнение Дирака Гексагональная решётка Точка электронейтральности e-h лужи Видимость графена Двухслойный графен
Получение и технология Получение графена Механическое расщепление Химические методы получения Эпитаксия на металлы Подвешенный графен Верхний затвор
Применения Применение графена Графеновый полевой транзистор Графеновые наноленты
Транспортные свойства Фононы Парадокс Клейна Термоэлектрический эффект
Магнитное поле Осцилляции Шубникова — де Гааза КЭХ ДКЭХ
Оптика графена Рамановское рассеяние света α
Известные учёные Андре Гейм Константин Новосёлов Михаил Кацнельсон
См. также: Портал:Физика

Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене (в русском языке также распространено написание Осцилляции Шубникова — де Гааза ) впервые наблюдали в 2005 году. Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний в магнитном поле .

Период осцилляций

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми ( ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ ) следующие соотношения:

${\displaystyle \varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s}{\sqrt {s}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s+1}{\sqrt {s+1}},}$

где « циклотронная частота » ${\displaystyle \omega _{c}^{s}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B_{s}}}}=v_{F}{\sqrt {\frac {2eB_{s}}{\hbar }}}}$ , а магнитная длина ${\displaystyle l_{B_{s}}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB_{s}}}}}$ , ${\displaystyle s}$ — натуральное число 1, 2, 3, …, ${\displaystyle v_{F}}$ — фермиевская скорость, ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка , ${\displaystyle e}$ — элементарный заряд , ${\displaystyle B_{s}}$ — магнитное поле, соответствующее s -му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна ${\displaystyle n={\frac {g_{s}g_{v}\varepsilon _{F}^{2}}{4\pi \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}$ . Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

${\displaystyle \pi \hbar ^{2}n={\frac {\varepsilon _{F}^{2}}{v_{F}^{2}}}=2seB_{s}\hbar ,}$

или

${\displaystyle s={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s}}},}$

${\displaystyle s+1={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s+1}}}.}$

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций ${\displaystyle \Delta B_{s}^{-1}}$ :

${\displaystyle 1={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\left({\frac {1}{B_{s+1}}}-{\frac {1}{B_{s}}}\right)={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\Delta B_{s}^{-1}.}$

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

${\displaystyle n={\frac {2e}{\pi \hbar \Delta B_{s}^{-1}}}}$

или фундаментальную частоту ${\displaystyle B_{F}}$

${\displaystyle n={\frac {2e}{\pi \hbar }}B_{F}.}$

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — Шарапова

В статье Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

${\displaystyle \sigma _{\text{osc}}={\frac {4e^{2}|\mu |}{\pi }}{\frac {(\mu ^{2}-\Delta ^{2}+\Gamma ^{2})\Theta (\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{(\hbar v_{F}^{2}eB)^{2}+(2\mu \Gamma )^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi k(\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right)R_{T}(k,\mu )R_{D}(k,\mu ),}$

где ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал , ${\displaystyle \Delta }$ — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), ${\displaystyle \Gamma }$ — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), ${\displaystyle \Theta (x)}$ — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

${\displaystyle R_{T}(k,\mu )={\frac {2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB}{\sinh(2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB)}},}$

а множитель Дингля

${\displaystyle R_{D}(k,\mu )=\exp \left({\frac {-2\pi k|\mu |\Gamma }{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right).}$

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности . В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау ( ${\displaystyle \mu ^{2}\gg \Delta ^{2}+\Gamma ^{2}}$ ), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.

Примечания